R1 2023 Vår LØSNING
Diskusjon av oppgaven på matteprat
Løsningsforslag fra Lektor Seland
Løsningsforslag fra Farhan Omar
Løsningsforslag fra Lektor Trandal
DEL 1
Oppgave 1
$f(x)=e^x+ln\,x$
$f'(x)=e^x+\frac{1}{x}$
Oppgave 2
\[ \lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4} = \frac{2^3-8}{2^2-4} = \frac{0}{0}\]
Bruker l'Hôpitals regel og deriverer teller og nevner hver for seg.
\[ \lim_{x\to 2} \frac{3x^2}{2x}=\frac{3\cdot 2^2}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3\]
Oppgave 3
a)
Vi har $A=(1,3), B=(4,0)$ og $C=(9,4)$
$\overrightarrow{BA} = [1-4, 3-0] = [-3,3]$
$\overrightarrow{BC} = [9-4, 4-0] = [5,4]$
Vi har $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos\,\alpha$, hvor $\alpha$ er vinkelen mellom vektorene.
Regner ut skalarproduktet av vektorene:
$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = -3\cdot5+3\cdot4=-15+12=-3$
Siden skalarproduktet av de to vektorene er negativt, er $cos\,\alpha$ negativ, og vinkelen mellom vektorene er større enn 90 grader.
b)
Vi ønsker å finne et punkt P på linjen som går gjennom punktene B og C, slik at $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP}= 0$
$\overrightarrow{AB} = [4-1, 0-3] = [3,-3]$
Linjen som går gjennom $B=(4,0)$ og $C=(9,4)$ kan uttrykkes ved:
$l:\begin{cases} x=4+5t \\ y= 4t \end{cases}$
P er et punkt på linja l, og kan dermed skrives $P=(4+5t, 4t)$
$\overrightarrow{AP} = [4+5t-1, 4t-3] = [5t+3,4t-3]$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP}= 0$
$[3,-3]\cdot[5t+3,4t-3]=0$
$3\cdot(5t+3)-3\cdot(4t-3)=0$
$15t+9-12t+9=0$
$3t=-18$
$t=-6$
Vi har $P=(4+5t, 4t)=(4+5(-6), 4(-6))=(-26,-24)$
Oppgave 4
a)
Eleven har brukt programmering for å løse oppgaven.
Linje 1 og 2: definerer en funksjon for arealet av rektangelet. Areal = bredde*lengde, hvor bredden er x, og lengden er funksjonsverdien f(x).
Linje 4: definerer variabelen t, som senere representerer bredden, og setter denne lik 0.
Linje 5: definerer variabelen d, som senere skal brukes til en gradvis økning av bredden, og setter denne lik 0,01. Bredden kommer til å økes gradvis med 0,01.
Linje 7 og 8: dette er en while-løkke, som går så lengde arealet når bredden er t, er mindre enn arealet når bredden er t+d. For hver runde i løkken økes bredden med 0,01, slik at ny verdi for t blir t+d.
Linje 10 skriver ut verdien av bredden t når arealet er størst.
b)
Finner toppunktet i funksjonen for arealet, ved å finne verdien til x når den deriverte av funksjonen lik 0.
$A(x)=x(x^2-9)^4$
$A'(x)=1\cdot(x^2-9)^4+x\cdot 4(x^2-9)^3\cdot 2x = (x^2-9)^4+8x^2(x^2-9)^3=(x^2-9)^3(x^2-9+8x^2)=(x^2-9)^3(9x^2-9)=9(x^2-9)^3(x^2-1)$
$A'(x)=0$
$9(x^2-9)^3(x^2-1)=0$
$x^2-9 = 0 \quad\vee\quad x^2-1=0$
$x=3 \quad\vee\quad x=-3 \quad\vee\quad x=1 \quad\vee\quad x=-1$
Funksjonen A(x) er bare definert for $x\in\langle 0,3 \rangle$, slik at løsningen er $x=1$.
Vi sjekker at A(1) er et toppunkt, ved å sjekke at A'(0)>0 og A'(2)<0.
Arealet er størst når $x=1$.
DEL 2
Oppgave 1
Tabellen viser timelønnen (i kroner):
| Årstall | 2008 | 2010 | 2013 | 2015 | 2019 | 2022 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Timelønn | 272,55 | 285,50 | 307,30 | 314,00 | 327,60 | 340,10 |
a) Hva har den gjennomsnittlige årlige prosentvise veksten i lønn vært i årene 2008–2022?
Vi antar eksponentiell vekst.
La <math>r</math> være den årlige vekstfaktoren.
Da gjelder
<math> 272,55\cdot r^{14}=340,10. </math>
Vi løser for <math>r</math>:
<math> \begin{aligned} r^{14} &=\frac{340,10}{272,55}\\ r &=\left(\frac{340,10}{272,55}\right)^{1/14}\\ &\approx1,01595. \end{aligned} </math>
Den prosentvise veksten er
<math> (1,01595-1)\cdot100\% \approx1,60\%. </math>
Svar:
<math> \boxed{1,6\%\text{ per år}} </math>
b) Bruk tallene i tabellen til å lage en eksponentialfunksjon <math>g</math>.
La <math>x</math> være antall år etter 2008.
Startverdien er
<math> 272,55, </math>
og vekstfaktoren er
<math> 1,01595. </math>
Dermed blir modellen
<math> \boxed{ g(x)=272,55\cdot1,01595^x. } </math>
En avrundet modell kan også skrives
<math> \boxed{ g(x)=272,55\cdot1,016^x. } </math>
Dersom man bruker Geogebra får man noe tilsvarende:
c) Bestem den samlede lønnen til Amalie og Per i årene 2008–2022.
Begge arbeider <math>1700</math> timer hvert år.
Amalie
Du kan lage et regneark å regne ut år for år, eller du kan bruke rekker (R2 pensum) dersom du kan det. Her bruker vi geometriske rekker.
Amalies timelønn øker med
<math> 2,3\% </math>
per år.
Timelønnen i år nummer <math>n</math> etter 2008 er
<math> 272,55\cdot1,023^n. </math>
Samlet lønn blir
<math> 1700\sum_{n=0}^{14}272,55\cdot1,023^n. </math>
Vi bruker formelen for geometrisk rekke:
<math> \sum_{n=0}^{14}1,023^n = \frac{1,023^{15}-1}{1,023-1} \approx17,67. </math>
Dermed
<math> \begin{aligned} L_A &=1700\cdot272,55\cdot17,67\\ &\approx8\,186\,000\text{ kr.} \end{aligned} </math>
Per
Per følger modellen fra oppgave b.
Samlet lønn blir
<math> 1700\sum_{n=0}^{14}272,55\cdot1,01595^n. </math>
Her er
<math> \sum_{n=0}^{14}1,01595^n = \frac{1,01595^{15}-1}{1,01595-1} \approx16,78. </math>
Dermed
<math> \begin{aligned} L_P &=1700\cdot272,55\cdot16,78\\ &\approx7\,771\,000\text{ kr.} \end{aligned} </math>
Svar:
Amalie:
<math> \boxed{\text{ca. }8\,186\,000\text{ kr}} </math>
Per:
<math> \boxed{\text{ca. }7\,771\,000\text{ kr}} </math>
d) Hvor mange prosent må Pers lønn øke hvert år for at han skal ha samme timelønn som Amalie i 2025?
Fra 2008 til 2025 går det <math>17</math> år.
Amalies timelønn i 2025 er
<math> 272,55\cdot1,023^{17}. </math>
La <math>r</math> være Pers årlige vekstfaktor.
Da må
<math> 272,55\cdot r^{17} = 272,55\cdot1,023^{17}. </math>
Vi forkorter med
<math> 272,55. </math>
Da får vi
<math> r^{17}=1,023^{17}, </math>
og dermed
<math> r=1,023. </math>
Pers lønn må derfor øke med
<math> 2,3\% </math>
hvert år.
Svar:
<math> \boxed{2,3\%\text{ per år}} </math>
Oppgave 2
a) Bestem koordinatene til B, C og D uttrykt ved <math>t</math>.
Vi har punktet <math>A=(3,2),</math> og vektorene <math>\vec{u}=[4,3], \qquad \vec{v}=[2t,5t]. </math>
Siden
<math> \overrightarrow{AB}=\vec{u}, </math>
får vi
<math> \begin{aligned} B &=A+\vec{u}\\ &=(3,2)+(4,3)\\ &=(7,5). \end{aligned} </math>
Siden
<math> \overrightarrow{AD}=\vec{v}, </math>
får vi
<math> \begin{aligned} D &=A+\vec{v}\\ &=(3,2)+(2t,5t)\\ &=(3+2t,\;2+5t). \end{aligned} </math>
I et parallellogram er
<math> \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{v}, </math>
så
<math> \begin{aligned} C &=B+\vec{v}\\ &=(7,5)+(2t,5t)\\ &=(7+2t,\;5+5t). \end{aligned} </math>
Svar:
<math> \boxed{ B=(7,5),\qquad C=(7+2t,\;5+5t),\qquad D=(3+2t,\;2+5t). } </math>
b) Bestem <math>t</math> slik at skjæringspunktet mellom diagonalene er <math>P(8,11)</math>.
Diagonalene i et parallellogram halverer hverandre. Skjæringspunktet er derfor midtpunktet på diagonalen <math>AC</math>.
Midtpunktet er
<math> \left( \frac{3+(7+2t)}2,\; \frac{2+(5+5t)}2 \right) = (5+t,\;3,5+2,5t). </math>
Vi setter dette lik
<math> (8,11). </math>
Fra <math>x</math>-koordinaten får vi
<math> 5+t=8, </math>
som gir
<math> t=3. </math>
Kontroll:
<math> 3,5+2,5\cdot3 = 3,5+7,5 = 11, </math>
så også <math>y</math>-koordinaten stemmer.
Svar:
<math> \boxed{t=3.} </math>
Oppgave 3
a) Hvis <math>x>0</math>, så er <math>(\ln x)^4=4\ln x</math>.
Påstanden er usann.
Vi kan finne et moteksempel.
Velg
<math> x=e. </math>
Da er
<math> \ln(e)=1. </math>
Venstre side blir
<math> (\ln e)^4=1^4=1, </math>
mens høyre side blir
<math> 4\ln e=4. </math>
Siden
<math> 1\neq4, </math>
er påstanden usann.
Svar:
<math>\boxed{\text{Usann}}</math>
b) Alle fjerdegradsfunksjoner må ha minst ett ekstremalpunkt.
En fjerdegradsfunksjon kan skrives
<math> f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e,\qquad a\neq0. </math>
Den deriverte er en tredjegradsfunksjon.
Alle tredjegradsfunksjoner har minst én reell løsning. Derfor har <math>f'(x)=0</math> minst ett kritisk punkt.
Dessuten gjelder:
- Hvis <math>a>0</math>, går <math>f(x)\to\infty</math> når <math>x\to\pm\infty</math>. Funksjonen må derfor ha minst ett minimum.
- Hvis <math>a<0</math>, går <math>f(x)\to-\infty</math> når <math>x\to\pm\infty</math>. Funksjonen må derfor ha minst ett maksimum.
Dermed må enhver fjerdegradsfunksjon ha minst ett ekstremalpunkt.
Svar:
<math>\boxed{\text{Sann}}</math>
c) For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, må funksjonen være enten strengt voksende eller strengt avtakende.
En funksjon har en omvendt funksjon dersom ulike <math>x</math>-verdier alltid gir ulike funksjonsverdier.
Det betyr at enhver horisontal linje kan skjære grafen høyst én gang.
En tilstrekkelig og vanlig måte å sikre dette på er at funksjonen er strengt voksende eller strengt avtakende på hele definisjonsmengden.
Dermed er påstanden sann.
Svar:
<math>\boxed{\text{Sann}}</math>
Oppgave 4
a) Avgjør og begrunn i hvert tilfelle om funksjonen har en omvendt funksjon.
En funksjon har en omvendt funksjon dersom enhver horisontal linje skjærer grafen høyst én gang.
Funksjon <math>f</math>
Grafen består av to grener. En horisontal linje, for eksempel <math>y=1</math>, skjærer grafen i to punkter.
Dermed finnes det to ulike <math>x</math>-verdier som gir samme funksjonsverdi.
Funksjonen har derfor ikke en omvendt funksjon.
Svar:
<math>\boxed{\text{Nei}}</math>
Funksjon <math>g</math>
Grafen er strengt voksende på hele definisjonsmengden.
Dermed vil enhver horisontal linje skjære grafen høyst én gang.
Funksjonen har derfor en omvendt funksjon.
Svar:
<math>\boxed{\text{Ja}}</math>
Funksjon <math>h</math>
Grafen består av to adskilte deler.
En horisontal linje, for eksempel <math>y=2</math>, skjærer grafen i to punkter.
Dermed finnes det to ulike <math>x</math>-verdier som gir samme funksjonsverdi.
Funksjonen har derfor ikke en omvendt funksjon.
Svar:
<math>\boxed{\text{Nei}}</math>
Funksjon <math>k</math>
Grafen er strengt avtakende på hele definisjonsmengden.
Dermed vil enhver horisontal linje skjære grafen høyst én gang.
Funksjonen har derfor en omvendt funksjon.
Svar:
<math>\boxed{\text{Ja}}</math>
b) Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen der den finnes.
Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er verdimengden til den opprinnelige funksjonen.
Funksjon <math>g</math>
Av grafen ser vi at funksjonsverdiene varierer fra omtrent <math>1</math> til <math>6</math>.
Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er derfor
<math> \boxed{[1,6].} </math>
Funksjon <math>k</math>
Av grafen ser vi at funksjonsverdiene varierer fra omtrent <math>-1</math> til <math>3</math>.
Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er derfor
<math> \boxed{[-1,3].} </math>
Funksjonene <math>f</math> og <math>h</math> har ikke omvendte funksjoner, og det finnes derfor ingen definisjonsmengde å bestemme.
Oppgave 5
Vi har sammenhengen mellom lydstyrke <math>L</math> (målt i dB) og lydintensitet <math>I</math> (målt i W/m²):
<math> L=120+10\lg I. </math>
a) Bestem lydintensiteten når lydstyrken er 130 dB.
Vi setter <math>L=130</math> inn i formelen:
<math> \begin{aligned} 130&=120+10\lg I\\ 10&=10\lg I\\ 1&=\lg I. \end{aligned} </math>
Vi opphever logaritmen:
<math> I=10^1=10. </math>
Svar:
<math> \boxed{I=10\ \text{W/m}^2.} </math>
b) Hvor mange prosent øker lydintensiteten dersom lydstyrken øker med 2 dB?
La den opprinnelige lydintensiteten være <math>I_1</math> og den nye være <math>I_2</math>.
Vi har
<math> L_2=L_1+2. </math>
Setter dette inn i formelen:
<math> \begin{aligned} 120+10\lg I_2 &=120+10\lg I_1+2\\ 10\lg I_2 &=10\lg I_1+2\\ \lg I_2 &=\lg I_1+0,2. \end{aligned} </math>
Dermed
<math> \frac{I_2}{I_1}=10^{0,2}\approx1,585. </math>
Den prosentvise økningen er
<math> (1,585-1)\cdot100\% \approx58,5\%. </math>
Svar:
<math> \boxed{\text{Lydintensiteten øker med omtrent }58,5\%.} </math>
Vi har videre at lydintensiteten i avstanden <math>r</math> fra lydkilden er
<math> I=\frac{E}{4\pi r^2}. </math>
Et fly gir en lydstyrke på 140 dB når du er 50 m fra flyet.
c) Bestem den minste avstanden til dette flyet der lydstyrken er lavere enn 130 dB.
Fra oppgave a vet vi at
- 130 dB tilsvarer
<math> I_{130}=10\ \text{W/m}^2. </math>
Når lydstyrken er 140 dB, får vi
<math> \begin{aligned} 140&=120+10\lg I\\ 20&=10\lg I\\ 2&=\lg I\\ I_{140}&=100\ \text{W/m}^2. \end{aligned} </math>
Lydintensiteten er altså ti ganger større ved 50 m enn ved grensen på 130 dB.
Siden
<math> I=\frac{E}{4\pi r^2}, </math>
er lydintensiteten omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden.
Vi får derfor
<math> \frac{I_{140}}{I_{130}} = \frac{r_{130}^2}{50^2}. </math>
Setter inn verdiene:
<math> 10=\frac{r_{130}^2}{2500}. </math>
Dermed
<math> \begin{aligned} r_{130}^2&=25000,\\ r_{130}&=\sqrt{25000}\\ &=50\sqrt{10}\\ &\approx158,1. \end{aligned} </math>
For at lydstyrken skal være lavere enn 130 dB, må avstanden være større enn dette.
Svar:
<math> \boxed{\text{Den minste avstanden er omtrent }158\text{ m}.} </math>
Oppgave 6
a) Finne avstand mellom punkt $P$ og linje $\ell$
Løsning i CAS:
- Linje 1 + 2: Definerer punkt $A$ og $B$
- Linje 3: Definerer linje $\ell$ som en linje gjennom punkt $A$ og $B$
- Linje 4: Definerer punkt $P(2,8)$
- Linje 5: Finne avstand mellom punkt $P$ og linje $l$
Avstanden mellom $P$ og $\ell$ er lik: $$\underline{\underline{18·\frac{\sqrt{ 17 }}{17}}}$$
b) Finne kortest avstand mellom $f(x) = x^2 + 2x$ og linje $\ell$
- Linje 6: Definere funksjonen $f$
- Linje 7: Her oppretter vi nytt punkt $Q$, som er et vilkårlig punkt på $f$. ($Q$ representerer alle mulige punkter på grafen $f$)
- Linje 8: Her oppretter vi en ny funksjon $d(x)$, der funksjonsverdien er lik avstanden mellom $Q$ og $l$, avhengig x-verdien til $Q$. $d(x)$ finnes ved hjelp av
Avstandkommandoen. - Linje 9: Avstanden mellom $f$ og $l$ er kortest ved bunnpunktet til $d$. Dette finner vi ved hjelp av
Ekstremalpunktkommandoen (finne punktet der $d'(x)=0$)
Ved bunnpunkt er $\underline{\underline{d=\sqrt{17}}}$ .
Oppgave 7
Vi skal lage et program som følger algoritmen i oppgaven.
Funksjonen er
<math> f(x)=\sqrt{x}, </math>
og intervallet er
<math> [0,1]. </math>
Vi velger et stort antall delintervaller, for eksempel <math>N=1000</math>, og beregner gjennomsnittet av funksjonsverdiene.
```python from math import sqrt
def gjennomsnitt(a, b, N):
dx = (b - a) / N summen = 0
for i in range(N + 1):
x = a + i * dx
summen += sqrt(x)
return summen / (N + 1)
print(gjennomsnitt(0, 1, 1000)) ```
Programmet skriver ut
<math> g\approx0,6665. </math>
Den eksakte gjennomsnittsverdien er
<math> \frac{1}{1-0}\int_0^1\sqrt{x}\,dx = \left[\frac23x^{3/2}\right]_0^1 = \frac23 \approx0,6667, </math>
så programmet gir en god tilnærming.
Svar:
<math> \boxed{g\approx0,667.} </math>