R1 2023 Vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Videoløsning av UDL.no

Løsningsforslag fra Lektor Seland

Løsningsforslag fra Farhan Omar

Løsningsforslag fra Lektor Trandal

DEL 1

Oppgave 1

$f(x)=e^x+ln\,x$

$f'(x)=e^x+\frac{1}{x}$

Oppgave 2

\[ \lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4} = \frac{2^3-8}{2^2-4} = \frac{0}{0}\]

Bruker l'Hôpitals regel og deriverer teller og nevner hver for seg.

\[ \lim_{x\to 2} \frac{3x^2}{2x}=\frac{3\cdot 2^2}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3\]

Oppgave 3

a)

Vi har $A=(1,3), B=(4,0)$ og $C=(9,4)$

$\overrightarrow{BA} = [1-4, 3-0] = [-3,3]$

$\overrightarrow{BC} = [9-4, 4-0] = [5,4]$

Vi har $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos\,\alpha$, hvor $\alpha$ er vinkelen mellom vektorene.

Regner ut skalarproduktet av vektorene:

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = -3\cdot5+3\cdot4=-15+12=-3$

Siden skalarproduktet av de to vektorene er negativt, er $cos\,\alpha$ negativ, og vinkelen mellom vektorene er større enn 90 grader.

b)

Vi ønsker å finne et punkt P på linjen som går gjennom punktene B og C, slik at $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP}= 0$

$\overrightarrow{AB} = [4-1, 0-3] = [3,-3]$

Linjen som går gjennom $B=(4,0)$ og $C=(9,4)$ kan uttrykkes ved:

$l:\begin{cases} x=4+5t \\ y= 4t \end{cases}$

P er et punkt på linja l, og kan dermed skrives $P=(4+5t, 4t)$

$\overrightarrow{AP} = [4+5t-1, 4t-3] = [5t+3,4t-3]$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP}= 0$

$[3,-3]\cdot[5t+3,4t-3]=0$

$3\cdot(5t+3)-3\cdot(4t-3)=0$

$15t+9-12t+9=0$

$3t=-18$

$t=-6$

Vi har $P=(4+5t, 4t)=(4+5(-6), 4(-6))=(-26,-24)$

Oppgave 4

a)

Eleven har brukt programmering for å løse oppgaven.

Linje 1 og 2: definerer en funksjon for arealet av rektangelet. Areal = bredde*lengde, hvor bredden er x, og lengden er funksjonsverdien f(x).

Linje 4: definerer variabelen t, som senere representerer bredden, og setter denne lik 0.

Linje 5: definerer variabelen d, som senere skal brukes til en gradvis økning av bredden, og setter denne lik 0,01. Bredden kommer til å økes gradvis med 0,01.

Linje 7 og 8: dette er en while-løkke, som går så lengde arealet når bredden er t, er mindre enn arealet når bredden er t+d. For hver runde i løkken økes bredden med 0,01, slik at ny verdi for t blir t+d.

Linje 10 skriver ut verdien av bredden t når arealet er størst.

b)

Finner toppunktet i funksjonen for arealet, ved å finne verdien til x når den deriverte av funksjonen lik 0.

$A(x)=x(x^2-9)^4$

$A'(x)=1\cdot(x^2-9)^4+x\cdot 4(x^2-9)^3\cdot 2x = (x^2-9)^4+8x^2(x^2-9)^3=(x^2-9)^3(x^2-9+8x^2)=(x^2-9)^3(9x^2-9)=9(x^2-9)^3(x^2-1)$

$A'(x)=0$

$9(x^2-9)^3(x^2-1)=0$

$x^2-9 = 0 \quad\vee\quad x^2-1=0$

$x=3 \quad\vee\quad x=-3 \quad\vee\quad x=1 \quad\vee\quad x=-1$

Funksjonen A(x) er bare definert for $x\in\langle 0,3 \rangle$, slik at løsningen er $x=1$.

Vi sjekker at A(1) er et toppunkt, ved å sjekke at A'(0)>0 og A'(2)<0.

Arealet er størst når $x=1$.

DEL 2

Oppgave 6

a) Finne avstand mellom punkt $P$ og linje $\ell$

Løsning i CAS:

• Linje 1 + 2: Definerer punkt $A$ og $B$
• Linje 3: Definerer linje $\ell$ som en linje gjennom punkt $A$ og $B$
• Linje 4: Definerer punkt $P(2,8)$
• Linje 5: Finne avstand mellom punkt $P$ og linje $l$

Avstanden mellom $P$ og $\ell$ er lik: $$\underline{\underline{18·\frac{\sqrt{ 17 }}{17}}}$$

b) Finne kortest avstand mellom $f(x) = x^2 + 2x$ og linje $\ell$

• Linje 6: Definere funksjonen $f$
• Linje 7: Her oppretter vi nytt punkt $Q$, som er et vilkårlig punkt på $f$. ($Q$ representerer alle mulige punkter på grafen $f$)
• Linje 8: Her oppretter vi en ny funksjon $d(x)$, der funksjonsverdien er lik avstanden mellom $Q$ og $l$, avhengig x-verdien til $Q$. $d(x)$ finnes ved hjelp av Avstand kommandoen.
• Linje 9: Avstanden mellom $f$ og $l$ er kortest ved bunnpunktet til $d$. Dette finner vi ved hjelp av Ekstremalpunkt kommandoen (finne punktet der $d'(x)=0$)

Ved bunnpunkt er $\underline{\underline{d=\sqrt{17}}}$ .