Løsning 2MN-080693

Oppgave 1

a)

Deriver funksjonene.

1

Vi har

<math> f(x)=x^3(x-4)^5 </math>

Vi bruker produktregelen:

<math> f'(x)=3x^2(x-4)^5+x^3\cdot5(x-4)^4 </math>

Sett felles faktor utenfor:

<math> f'(x)=x^2(x-4)^4\left(3(x-4)+5x\right) </math>

<math> = x^2(x-4)^4(8x-12) </math>

eller

<math> \boxed{f'(x)=4x^2(x-4)^4(2x-3)} </math>

2

Vi har

<math> f(x)=\frac12x^2-\sqrt{1-x} </math>

Deriver hvert ledd.

Første ledd:

<math> \left(\frac12x^2\right)'=x </math>

Andre ledd:

<math> \frac{d}{dx}\left(\sqrt{1-x}\right) =\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot(-1) =-\frac1{2\sqrt{1-x}} </math>

Siden funksjonen har minus foran kvadratroten, blir

<math> \frac{d}{dx}\left(-\sqrt{1-x}\right) =\frac1{2\sqrt{1-x}} </math>

Dermed

<math> \boxed{ f'(x)=x+\frac1{2\sqrt{1-x}} } </math>

b)

Punktene er

<math> A(2,4),\qquad B(-3,-1),\qquad C(5,-3) </math>

Finn først vektorene.

<math> \overrightarrow{AB} =(-3-2,\,-1-4) =(-5,-5) </math>

<math> \overrightarrow{AC} =(5-2,\,-3-4) =(3,-7) </math>

Skalarprodukt

<math> \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =(-5)\cdot3+(-5)\cdot(-7) =-15+35 =20 </math>

Altså

<math> \boxed{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=20} </math>

Vinkelen BAC

Vi bruker formelen

<math> \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos\angle BAC </math>

Lengdene er

<math> |\overrightarrow{AB}| =\sqrt{(-5)^2+(-5)^2} =\sqrt{50} =5\sqrt2 </math>

<math> |\overrightarrow{AC}| =\sqrt{3^2+(-7)^2} =\sqrt{58} </math>

Dermed

<math> \cos\angle BAC = \frac{20}{5\sqrt2\sqrt{58}} = \frac{20}{10\sqrt{29}} = \frac2{\sqrt{29}} </math>

Vi får

<math> \angle BAC =\cos^{-1}\left(\frac2{\sqrt{29}}\right) \approx68,2^\circ </math>

Svar:

<math> \boxed{\angle BAC\approx68,2^\circ} </math>

c)

1

Bestem

<math> \displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{2x^2-3}{-x^2+2x} </math>

Vi deler teller og nevner på <math>x^2</math>.

<math> = \displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{2-\frac3{x^2}} {-1+\frac2x} = \frac2{-1} =-2 </math>

Svar:

<math> \boxed{-2} </math>

2

Bestem

<math> \lim_{x\to3} \frac{x^2-2x-3}{x-3} </math>

Faktoriser telleren.

<math> x^2-2x-3 =(x-3)(x+1) </math>

Da blir

<math> \lim_{x\to3} \frac{(x-3)(x+1)}{x-3} = \lim_{x\to3}(x+1) =4 </math>

Svar:

<math> \boxed{4} </math>

d)

Vi har

<math> f(x)=-\frac12x^2+2x+6 </math>

og

<math> g(x)=x-\frac32 </math>

Arealet er avgrenset av

• y-aksen
• grafen til <math>f</math>
• grafen til <math>g</math>

Først finner vi skjæringspunktet.

<math> -\frac12x^2+2x+6=x-\frac32 </math>

Flytt alt til én side.

<math> -\frac12x^2+x+\frac{15}{2}=0 </math>

Gang med -2.

<math> x^2-2x-15=0 </math>

<math> (x-5)(x+3)=0 </math>

Relevant løsning er

<math> x=5 </math>

Arealet blir derfor

<math> A = \int_0^5 \left(f(x)-g(x)\right)\,dx </math>

Sett inn funksjonene.

<math> A = \int_0^5 \left( -\frac12x^2+x+\frac{15}{2} \right)\,dx </math>

Stamfunksjonen er

<math> -\frac16x^3+\frac12x^2+\frac{15}{2}x </math>

Dermed

<math> A = \left[ -\frac16x^3+\frac12x^2+\frac{15}{2}x \right]_0^5 </math>

<math> = -\frac{125}{6} +\frac{25}{2} +\frac{75}{2} = \frac{175}{6} \approx29,17 </math>

Svar:

<math> \boxed{ A=\frac{175}{6}\approx29,17 } </math>

Oppgave 2

Funksjonen er gitt ved

<math> f(x)=\frac{x^3}{x^2-4},\qquad D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\} </math>

a) Symmetri

Vi undersøker om funksjonen er jevn eller odde.

<math> f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2-4} =\frac{-x^3}{x^2-4} =-f(x) </math>

Siden

<math> f(-x)=-f(x) </math>

er grafen symmetrisk om origo.

Svar:

<math> \boxed{\text{Grafen er odde og har origosymmetri.}} </math>

b) Asymptoter

Vertikale asymptoter

Nevneren er null når

<math> x^2-4=0 </math>

<math> (x-2)(x+2)=0 </math>

Dermed får vi

<math> x=-2,\qquad x=2 </math>

som vertikale asymptoter.

Skrå asymptote

Vi utfører polynomdivisjon.

<math> \frac{x^3}{x^2-4} =x+\frac{4x}{x^2-4} </math>

Restleddet går mot null når

<math> x\to\pm\infty </math>

Dermed er den skrå asymptoten

<math> \boxed{y=x} </math>

Svar:

<math> \boxed{x=-2,\quad x=2,\quad y=x} </math>

c) Topp- og bunnpunkter

Vi deriverer funksjonen.

Bruk kvotientregelen.

<math> f'(x) = \frac{3x^2(x^2-4)-x^3(2x)} {(x^2-4)^2} </math>

Forenkling gir

<math> f'(x) = \frac{x^4-12x^2} {(x^2-4)^2} = \frac{x^2(x^2-12)} {(x^2-4)^2} </math>

Kritiske punkter finnes når telleren er null.

<math> x^2(x^2-12)=0 </math>

gir

<math> x=0,\qquad x=\pm2\sqrt3 </math>

Punktene

<math> x=\pm2 </math>

ligger ikke i definisjonsmengden.

Siden nevneren alltid er positiv, bestemmes fortegnet av telleren.

Intervall	Fortegn
<math>x<-2\sqrt3</math>	+
<math>-2\sqrt3<x<-2</math>	–
<math>-2<x<0</math>	–
<math>0<x<2</math>	–
<math>2<x<2\sqrt3</math>	–
<math>x>2\sqrt3</math>	+

Dermed er

• <math>x=-2\sqrt3</math> et toppunkt.
• <math>x=2\sqrt3</math> et bunnpunkt.
• <math>x=0</math> er ikke ekstremalpunkt.

Vi finner funksjonsverdiene.

<math> f(2\sqrt3) = \frac{(2\sqrt3)^3}{12-4} = \frac{24\sqrt3}{8} = 3\sqrt3 </math>

<math> f(-2\sqrt3) = -3\sqrt3 </math>

Svar:

<math> \boxed{(-2\sqrt3,-3\sqrt3)} </math>

er toppunkt.

<math> \boxed{(2\sqrt3,3\sqrt3)} </math>

er bunnpunkt.

d) Tegning

Grafen har

• vertikale asymptoter <math>x=-2</math> og <math>x=2</math>
• skrå asymptote <math>y=x</math>
• origosymmetri
• toppunkt <math>(-2\sqrt3,-3\sqrt3)</math>
• bunnpunkt <math>(2\sqrt3,3\sqrt3)</math>
• skjærer origo.

Grafen tegnes med disse opplysningene.

e) Tangenten i punktet <math>(4,f(4))</math>

Først finner vi punktet.

<math> f(4) = \frac{64}{16-4} = \frac{16}{3} </math>

Stigningstallet er

<math> f'(4) = \frac{16(16-12)} {(16-4)^2} = \frac{64}{144} = \frac49 </math>

Tangenten blir

<math> y-\frac{16}{3} = \frac49(x-4) </math>

Forenkling gir

<math> \boxed{ y=\frac49x+\frac{32}{9} } </math>

f) Antall løsninger

Vi skal løse

<math> \frac{x^3}{x^2-4} = \frac49x+b </math>

Linjene har alle stigningstall

<math> \frac49 </math>

Fra oppgave e vet vi at linjen

<math> y=\frac49x+\frac{32}{9} </math>

er tangent til grafen.

Dermed gjelder:

• <math>b=\frac{32}{9}</math>: to løsninger (én av dem er et tangeringspunkt).
• <math>b>\frac{32}{9}</math>: én løsning.
• <math>b<\frac{32}{9}</math>: tre løsninger.

Svar:

Verdi av <math>b</math>	Antall løsninger
<math>b>\frac{32}{9}</math>	1
<math>b=\frac{32}{9}</math>	2
<math>b<\frac{32}{9}</math>	3

Oppgave 3

Vi har

<math> \overrightarrow{AB}=\vec u,\qquad \overrightarrow{AC}=\vec v </math>

Punktet <math>P</math> er bestemt ved

<math> \overrightarrow{AP}=\frac12\overrightarrow{PB} </math>

og punktet <math>R</math> ved

<math> \overrightarrow{AR}=2\overrightarrow{RC}. </math>

a)

Finn <math>\overrightarrow{AP}</math> og <math>\overrightarrow{BR}</math> uttrykt ved <math>\vec u</math> og <math>\vec v</math>.

Fra

<math> \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB} </math>

og

<math> \overrightarrow{AP} = \frac12\overrightarrow{PB} </math>

får vi

<math> \overrightarrow{AB} = \frac12\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PB} = \frac32\overrightarrow{PB}. </math>

Dermed

<math> \overrightarrow{PB} = \frac23\vec u. </math>

Altså

<math> \boxed{ \overrightarrow{AP} = \frac13\vec u. } </math>

---

Videre har vi

<math> \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AR} + \overrightarrow{RC}. </math>

Siden

<math> \overrightarrow{AR} = 2\overrightarrow{RC}, </math>

får vi

<math> \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{RC}, </math>

slik at

<math> \overrightarrow{RC} = \frac13\vec v. </math>

Dermed

<math> \overrightarrow{AR} = \frac23\vec v. </math>

Til slutt

<math> \overrightarrow{BR} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AR} = -\vec u+\frac23\vec v. </math>

Svar:

<math> \boxed{ \overrightarrow{AP} = \frac13\vec u, \qquad \overrightarrow{BR} = -\vec u+\frac23\vec v. } </math>

b)

Vis at punktene <math>B</math>, <math>Q</math> og <math>C</math> ligger på en rett linje.

I parallellogrammet gjelder

<math> \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AR}. </math>

Dermed

<math> \overrightarrow{AQ} = \frac13\vec u + \frac23\vec v. </math>

Vi finner

<math> \overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AQ} = -\vec u + \frac13\vec u + \frac23\vec v = \frac23(\vec v-\vec u). </math>

Videre er

<math> \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\vec u+\vec v = \vec v-\vec u. </math>

Dermed

<math> \overrightarrow{BQ} = \frac23\overrightarrow{BC}. </math>

Siden

<math> \overrightarrow{BQ} </math>

er et skalar multiplum av

<math> \overrightarrow{BC}, </math>

ligger punktene <math>B</math>, <math>Q</math> og <math>C</math> på samme rette linje.

c)

Bestem

<math> \overrightarrow{AS} </math>

uttrykt ved <math>\vec u</math> og <math>\vec v</math>.

Punktet <math>S</math> ligger både på <math>AQ</math> og <math>BR</math>.

Vi kan derfor skrive

<math> \overrightarrow{AS} = t\overrightarrow{AQ} = t\left( \frac13\vec u + \frac23\vec v \right) </math>

for en konstant <math>t</math>.

Dessuten

<math> \overrightarrow{AS} = \overrightarrow{AB} + s\overrightarrow{BR} = \vec u + s\left( -\vec u + \frac23\vec v \right). </math>

Sammenligning av koeffisientene gir

<math> \frac{t}{3}=1-s, </math>

og

<math> \frac{2t}{3} = \frac{2s}{3}. </math>

Dermed er

<math> t=s. </math>

Setter vi dette inn, får vi

<math> \frac{t}{3} = 1-t. </math>

Altså

<math> 4t=3, </math>

slik at

<math> t=\frac34. </math>

Dermed

<math> \overrightarrow{AS} = \frac34 \left( \frac13\vec u + \frac23\vec v \right) = \frac14\vec u + \frac12\vec v. </math>

Svar:

<math> \boxed{ \overrightarrow{AS} = \frac14\vec u + \frac12\vec v. } </math>

Oppgave 4

a)

Vi har gitt

<math> \cos 2x=\frac{119}{169}, \qquad x\in\langle90^\circ,180^\circ\rangle. </math>

Vi bruker identiteten

<math> \cos 2x=1-2\sin^2x. </math>

Da får vi

<math> 1-2\sin^2x=\frac{119}{169}. </math>

Dermed

<math> 2\sin^2x = 1-\frac{119}{169} = \frac{50}{169}, </math>

slik at

<math> \sin^2x=\frac{25}{169}. </math>

Siden <math>x</math> ligger i andre kvadrant, er

<math> \sin x>0. </math>

Altså

<math> \boxed{\sin x=\frac{5}{13}}. </math>

Videre har vi

<math> \cos^2x = 1-\sin^2x = 1-\frac{25}{169} = \frac{144}{169}. </math>

I andre kvadrant er cosinus negativ, derfor

<math> \cos x=-\frac{12}{13}. </math>

Dermed

<math> \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}. </math>

Svar:

<math> \boxed{\sin x=\frac{5}{13},\qquad \tan x=-\frac{5}{12}.} </math>

b)

1

Grafen er gitt ved

<math> f(x)=a\sin x+b. </math>

Fra grafen ser vi at

• maksimalverdien er <math>5</math>,
• minimalverdien er <math>-1</math>.

Amplituden er derfor

<math> a=\frac{5-(-1)}2=3. </math>

Likevektslinjen er

<math> y=\frac{5+(-1)}2=2, </math>

så

<math> b=2. </math>

Svar:

<math> \boxed{a=3,\qquad b=2.} </math>

2

Vi skal løse

<math> 3\sin x+2=0, \qquad x\in[0,2\pi\rangle. </math>

Dette gir

<math> \sin x=-\frac23. </math>

Referansevinkelen er

<math> \alpha=\arcsin\!\left(\frac23\right)\approx0,73. </math>

Siden sinus er negativ i tredje og fjerde kvadrant, får vi

<math> x=\pi+\alpha </math>

eller

<math> x=2\pi-\alpha. </math>

Altså

<math> x = \pi+\arcsin\!\left(\frac23\right) \approx3,87, </math>

og

<math> x = 2\pi-\arcsin\!\left(\frac23\right) \approx5,55. </math>

Svar:

<math> \boxed{ x\approx3,87 \text{ eller } x\approx5,55. } </math>

c)

1

Skriv så enkelt som mulig

<math> \frac{\sin x-\cos x}{\tan x-1}. </math>

Vi bruker at

<math> \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}. </math>

Da får vi

<math> \frac{\sin x-\cos x}{\tan x-1} = \frac{\sin x-\cos x} {\frac{\sin x}{\cos x}-1}. </math>

Sett på felles nevner i nevneren.

<math> = \frac{\sin x-\cos x} {\frac{\sin x-\cos x}{\cos x}} = (\sin x-\cos x)\cdot \frac{\cos x}{\sin x-\cos x} =\cos x. </math>

Svar:

<math> \boxed{ \frac{\sin x-\cos x}{\tan x-1}=\cos x } </math>

(gjelder når uttrykket er definert).

---

2

Løs ulikheten

<math> \frac{\sin x-\cos x}{\tan x-1}<\frac12, \qquad x\in[0,2\pi\rangle. </math>

Fra oppgave 1 får vi

<math> \cos x<\frac12. </math>

Cosinus er mindre enn <math>\frac12</math> for

<math> \frac{\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}. </math>

Det opprinnelige uttrykket er ikke definert når

<math> \tan x</math> ikke er definert eller når

<math> \tan x-1=0. </math>

Det vil si at

<math> x=\frac{\pi}{2},\, \frac{3\pi}{2},\, \frac{5\pi}{4} </math>

må utelates fra løsningsmengden (punktet <math>\frac{\pi}{4}</math> ligger ikke i intervallet ovenfor).

Svar:

<math> \boxed{ x\in \left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{3}\right). } </math>

Oppgave 5

a)

Sinussetningen

I en vilkårlig trekant med sider <math>a</math>, <math>b</math> og <math>c</math>, og motstående vinkler <math>A</math>, <math>B</math> og <math>C</math>, gjelder

<math> \boxed{ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} } </math>

Bevis

La høyden fra hjørnet <math>C</math> ned på siden <math>AB</math> være <math>h</math>.

I den venstre rettvinklede trekanten er

<math> \sin A=\frac{h}{b}, </math>

slik at

<math> h=b\sin A. </math>

I den høyre rettvinklede trekanten er

<math> \sin B=\frac{h}{a}, </math>

slik at

<math> h=a\sin B. </math>

Dermed

<math> a\sin B=b\sin A. </math>

Dividerer vi begge sider med <math>\sin A\sin B</math>, får vi

<math> \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}. </math>

På tilsvarende måte kan vi trekke en høyde fra et av de andre hjørnene og vise at

<math> \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. </math>

Dermed følger

<math> \boxed{ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. } </math>

b)

1

Jordradiusen er

<math> r=6370\text{ km}, </math>

og buelengden mellom observatoriene er

<math> s=3650\text{ km}. </math>

Sammenhengen mellom buelengde og sentralvinkel (målt i radianer) er

<math> s=r\theta. </math>

Dermed blir

<math> \theta=\frac{s}{r} =\frac{3650}{6370} \approx0,573\text{ rad}. </math>

Omregnet til grader får vi

<math> 0,573\cdot\frac{180}{\pi} \approx32,8^\circ. </math>

Svar:

<math> \boxed{ \angle AOB\approx0,573\text{ rad} } </math>

eller

<math> \boxed{ \angle AOB\approx32,8^\circ. } </math>

2

Bestem lengden av det rette linjestykket <math>AB</math>.

Fra oppgave 1 har vi

<math> \angle AOB\approx0,573\text{ rad}. </math>

I trekanten <math>AOB</math> er

<math> OA=OB=6370\text{ km}. </math>

Vi bruker cosinussetningen.

<math> AB^2 = 6370^2+6370^2 -2\cdot6370^2\cos(0,573). </math>

Siden

<math> \cos(0,573)\approx0,840, </math>

får vi

<math> AB \approx3561\text{ km}. </math>

Svar:

<math> \boxed{AB\approx3560\text{ km}.} </math>

3

Finn <math>\angle ASB</math>.

Vinklene 38,0° og 21,2° er vinklene mellom siktelinjen og horisonten.

Horisonten står vinkelrett på radiusen, derfor blir

<math> \angle OAS = 90^\circ-38,0^\circ = 52,0^\circ, </math>

og

<math> \angle OBS = 90^\circ-21,2^\circ = 68,8^\circ. </math>

I firkanten <math>AOSB</math> er vinkelsummen

<math> 360^\circ. </math>

Dermed

<math> \angle ASB = 360^\circ - 52,0^\circ - 68,8^\circ - 32,8^\circ = 206,4^\circ. </math>

Vinkelen inne i trekanten er

<math> 360^\circ-206,4^\circ = 153,6^\circ. </math>

Svar:

<math> \boxed{\angle ASB\approx153,6^\circ.} </math>

4

Bestem satellittens avstand <math>SC</math> fra det nærmeste punktet på jordoverflaten.

I trekanten <math>ASB</math> kjenner vi

<math> AB\approx3560\text{ km}, </math>

<math> \angle A=38,0^\circ, </math>

<math> \angle B=21,2^\circ, </math>

og

<math> \angle S=153,6^\circ. </math>

Ved sinussetningen får vi

<math> \frac{AS}{\sin21,2^\circ} = \frac{AB}{\sin153,6^\circ}. </math>

Dermed

<math> AS = 3560 \cdot \frac{\sin21,2^\circ}{\sin153,6^\circ} \approx2890\text{ km}. </math>

I den rettvinklede trekanten <math>ASC</math> er

<math> \angle SAC=38,0^\circ. </math>

Dermed

<math> SC = AS\sin38,0^\circ \approx2890\cdot0,6157 \approx1780\text{ km}. </math>

Svar:

<math> \boxed{SC\approx1780\text{ km}.} </math>