Kurs pre VGS
Begreper
Disse ordene er det viktig å kunne så godt at du kan bruke dem aktivt.
Grunnleggende
Addisjon
Addisjon betyr å legge sammen, eller å plusse.
Eksempel:
<math>2+3=5</math>
Subtraksjon
Subtraksjon betyr å trekke fra.
Eksempel:
<math>5-2=3</math>
Addisjon og subtraksjon er motsatte operasjoner.
Multiplikasjon
Multiplikasjon betyr å gange sammen.
Eksempel:
<math>2\cdot4=8</math>
Divisjon
Divisjon betyr å dele ett tall på et annet.
Eksempel:
<math>8:2=4</math>
eller
<math>\frac{8}{2}=4</math>
Multiplikasjon og divisjon er motsatte operasjoner.
Faktor
En faktor er et tall i en multiplikasjon (gangestykke).
I uttrykket
<math>2\cdot4=8</math>
er tallene <math>2</math> og <math>4</math> faktorer.
Produkt
Et produkt er resultatet av en multiplikasjon.
Åtte er et produkt av to ganger fire.
Vi kaller også selve uttrykket
<math>2\cdot4</math>
for et produkt.
Både
<math>2\cdot4</math>
og
<math>8</math>
er produkter.
Ledd
Et ledd er et uttrykk som er adskilt av pluss- eller minustegn.
Eksempel:
<math>2+3</math>
Uttrykket består av to ledd:
- <math>2</math>
- <math>3</math>
Et litt mer sammensatt eksempel:
<math>3\cdot5+4\cdot2</math>
Uttrykket består av to ledd:
- første ledd er produktet <math>3\cdot5</math>
- andre ledd er produktet <math>4\cdot2</math>
Hvert ledd består altså av et produkt av faktorer.
Regnerekkefølge
Når et matematisk uttrykk inneholder flere regnearter, må vi følge en bestemt rekkefølge. Dersom vi ikke gjør det, kan forskjellige personer komme fram til ulike svar.
Regnerekkefølgen er:
- Regn ut uttrykk i parenteser.
- Regn ut potenser og røtter.
- Utfør multiplikasjon og divisjon.
- Utfør addisjon og subtraksjon.
Eksempel:
<math>2+3\cdot4=2+12=14</math>
Vi ganger før vi legger sammen.
Et annet eksempel:
<math>(2+3)\cdot4=5\cdot4=20</math>
Her gjør parentesen at addisjonen utføres først.
Potenser og røtter
Potens
En potens er en skrivemåte for et produkt der alle faktorene er like.
Eksempel:
<math>3\cdot3\cdot3\cdot3</math>
Dette er et produkt der alle faktorene er 3.
Vi ser at 3 skal multipliseres med seg selv fire ganger. Derfor innfører vi skrivemåten
<math>3^4</math>
Tallet <math>3</math> kalles grunntallet. Det er tallet som skal multipliseres med seg selv.
Tallet <math>4</math> kalles eksponenten. Den forteller hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv.
Eksempel:
<math>3^4</math>
Denne skrivemåten gjør uttrykket enklere og tar mindre plass.
Dersom vi multipliserer ut, får vi
<math>3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81</math>
Vi ser at resultatet raskt kan bli stort. Det er derfor en god grunn til å lære seg potensregning.
Kvadratrot
Kvadratroten av et tall er en faktor som multiplisert med seg selv gir det opprinnelige tallet.
Vi bruker symbolet
<math>\sqrt{\phantom{x}}</math>
for kvadratrot.
Kvadratroten av 25 skrives
<math>\sqrt{25}</math>
Kvadratroten av 25 er det tallet som ganget med seg selv blir 25.
Vi skriver
<math>\sqrt{25}=5</math>
Dersom du har lært om negative tall, vet du at også
<math>(-5)\cdot(-5)=25</math>
Men når vi skriver kvadratroten av et tall, mener vi alltid den positive løsningen.
Eksempel:
<math>\sqrt{100}=10</math>
fordi
<math>10\cdot10=100</math>
Kvadratroten er ikke begrenset til heltall.
Eksempel:
<math>\sqrt{2}\approx1,41</math>
Det er ingen som forventer at du skal huske kvadratroten av alle tall. Til det bruker vi kalkulator.
Noen tall er likevel spesielle:
<math>1,\;4,\;9,\;16,\;25,\;36,\;49,\;64,\;81,\;100,\;121,\ldots</math>
Disse kalles kvadrattall.
Du bør kunne kvadratrøttene av alle kvadrattall opp til 100:
<math>1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8,\;9,\;10</math>
NB!
Det er ikke mulig å ta kvadratroten av et negativt tall innenfor de reelle tallene.
Det er en nær sammenheng mellom potenser med eksponent 2 og kvadratrøtter:
<math>\sqrt{x^2}=x</math>
for positive verdier av <math>x</math>.
Hvorfor heter det kvadratrot?
Navnet kommer fra kvadratet.
Et kvadrat er en firkant der alle sidene er like lange og alle vinklene er 90°.
Hvis du kjenner arealet til et kvadrat, kan du finne sidelengden ved å ta kvadratroten av arealet.
Eksempel:
Et kvadrat har areal
<math>49\,\text{cm}^2</math>
Sidelengden er
<math>\sqrt{49 cm^2}=7\,\text{cm}</math>
Kubikkrot
Kubikkroten av et tall er et tall som ganget med seg selv tre ganger gir det tallet vi startet med.
Kubikkroten kalles også tredjeroten.
Eksempel:
Tredjeroten av 8 er 2 fordi
<math>2\cdot2\cdot2=8</math>
Vi skriver
<math>\sqrt[3]{8}=2</math>
Tredjeroten av 27 er 3 fordi
<math>3\cdot3\cdot3=27</math>
Vi skriver
<math>\sqrt[3]{27}=3</math>
Flere eksempler:
<math>\sqrt[3]{1}=1</math>
<math>\sqrt[3]{64}=4</math>
<math>\sqrt[3]{125}=5</math>
I motsetning til kvadratroten kan vi ta kubikkroten av negative tall.
Eksempel:
<math>\sqrt[3]{-8}=-2</math>
fordi
<math>(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8</math>
Vanlige misoppfatninger
Mange feil i matematikk skyldes misforståelser eller regler som er blitt forenklet for mye. Her er noen av de vanligste.
«Minus og minus er pluss»
Dette er et utsagn som ofte brukes av lærere (inkludert meg selv), men det kan føre til misforståelser.
Regelen gjelder kun når man multipliserer eller dividerer to negative tall.
Eksempel:
<math>(-2)\cdot(-3)=6</math>
og
<math>\frac{-12}{-3}=4</math>
Derimot gjelder den ikke ved addisjon eller subtraksjon.
Eksempel:
<math>-4-2=-6</math>
Her blir svaret ikke positivt.
«Flytt og bytt»
Uttrykket flytt og bytt brukes ofte når man løser likninger, men det skjuler hva man egentlig gjør.
Se på likningen
<math>x+2=6</math>
Vi trekker fra 2 på begge sider:
<math>x+2-2=6-2</math>
<math>x=6-2</math>
<math>x=4</math>
Hvis man bare ser første og siste linje, kan det se ut som om 2 «flyttes» over på høyre side og skifter fortegn.
Det som egentlig skjer, er at vi utfører den samme regneoperasjonen på begge sider av likhetstegnet.
Potensfeil
Mange tror at
<math>3^2=3\cdot2</math>
Dette er feil.
En potens betyr at grunntallet skal ganges med seg selv.
Riktig er
<math>3^2=3\cdot3=9</math>
Ikke
<math>3\cdot2=6</math>
«Når man ganger to tall blir svaret alltid større»
Dette er feil.
Hvis man multipliserer med et tall mellom 0 og 1, blir svaret mindre.
Eksempel:
<math>10\cdot0,5=5</math>
<math>10\cdot0,2=2</math>
Jo mindre tallet mellom 0 og 1 er, desto mer blir resultatet redusert.
«Når man deler to tall blir svaret alltid mindre»
Dette er også feil.
Hvis man deler på et tall mellom 0 og 1, blir svaret større.
Eksempel:
<math>10:0,5=20</math>
<math>10:0,25=40</math>
Vi kan beskrive dette mer presist ved å bruke fagbegreper:
- Dividend – tallet som skal deles.
- Divisor – tallet vi deler på.
- Kvotient – svaret vi får.
Eksempel:
<math>10:0,5=20</math>
- Dividend: 10
- Divisor: 0,5
- Kvotient: 20
Dersom divisoren er større enn 0 og mindre enn 1, blir kvotienten større enn dividenden.
«Etter likhetstegnet kommer svaret»
Dette er en vanlig misoppfatning.
Et likhetstegn betyr at uttrykkene på begge sider har samme verdi. Likhetstegnet betyr altså er like mye som, ikke her kommer svaret.
Eksempel:
<math>x+2=6</math>
Vi løser likningen ved å trekke 2 fra på begge sider:
<math>x+2-2=6-2</math>
<math>x=6-2</math>
<math>x=4</math>
Svaret kommer først på den siste linjen. De tre første linjene er likevel riktige, fordi uttrykkene på begge sider av likhetstegnet har samme verdi når <math>x=4</math>.
Et annet eksempel er
<math>3+5=4+4</math>
Begge sidene har verdien 8, derfor er likheten riktig selv om det ikke står et «svar» på høyre side.
«Uendelig er et tall»
Nei.
Uendelig (<math>\infty</math>) er ikke et tall. Det beskriver noe som ikke har noen øvre grense.
Eksempel:
Det finnes alltid et større heltall.
Hvis vi starter med 1000, kan vi legge til 1 og få 1001.
Det finnes derfor ikke noe største heltall.
Vi sier at mengden av heltall er uendelig.
«Hvilket tall er størst?»
Sammenlign tallene
<math>0,9</math>
og
<math>0,10</math>
Noen tror at <math>0,10</math> er størst fordi det har flere sifre.
Det er feil.
Vi kan skrive
<math>0,9=0,90</math>
Da blir sammenligningen
<math>0,90>0,10</math>
Altså er
<math>0,9</math>
det største tallet.
Når vi sammenligner desimaltall, må vi se på sifrenes plassverdi, ikke hvor mange sifre tallet har.
«Hvilken brøk er størst?»
Sammenlign
<math>\frac{3}{4}</math>
og
<math>\frac{3}{5}</math>
Begge brøkene har samme teller.
Da er brøken med minst nevner størst.
Vi kan se dette ved å utvide brøkene til fellesnevner 20:
<math>\frac34=\frac{15}{20}</math>
<math>\frac35=\frac{12}{20}</math>
Siden
<math>15>12</math>
ser vi at
<math>\frac34>\frac35</math>
Når telleren er lik, betyr en mindre nevner at hver del er større.
«Jeg er dum i matte (og det er resten av familien min også)»
Dette er kanskje den mest skadelige misoppfatningen av alle.
De aller fleste kan lære matematikken på videregående skole dersom de arbeider systematisk over tid.
Gode arbeidsvaner er viktigere enn medfødte evner.
Dersom du ikke arbeider jevnlig, vil du før eller senere oppleve å få svake resultater – ikke bare i matematikk, men ofte også i andre fag.
Matematikk handler sjelden om å være «født flink». Det handler om å bygge kunnskap steg for steg.
Noe må pugges, men heldigvis er det forholdsvis lite. Det viktigste er å lære metoder og å forstå hvorfor de virker.
Det viktigste er at du gjør noe når du oppdager et kunnskapshull.
Bruk tid på å øve.
Still spørsmål.
Prøv å forklare stoffet med dine egne ord.
Bruk gjerne en AI til å stille kritiske spørsmål, men diskuter også med læreren din slik at du får bekreftet at forståelsen er riktig.
Den matematikken man lærer på videregående kan de fleste mestre med gode resultater, men det krever at man jobber systematisk og «tetter» kunnskapshull dersom man oppdager dem. Det viktige er at man GJØR noe konkret. Noe er ren pugg, men heldigvis er det lite av det i matematikken. Det handler ofte om å lære seg metoder. I alle tilfeller må du være forberedt på å bruke tid. Sitt gjerne å still kritiske spørsmål til en AI. Ikke gi deg før du føler du har forstått. Diskuter så med lærer for å få bekreftet at du har riktig forståelse.
Eksempel 1
I dag skal jeg lære hva primtall, oddetall og partall er.
Dette er hovedsakelig begreper som må læres.
Lag gjerne huskeregler eller morsomme historier som gjør dem lettere å huske.
Eksempel 2
I dag skal jeg lære regnerekkefølgen.
Her holder det ikke å pugge.
Du må først forstå hva et ledd er og hva et produkt er.
Deretter må du lære reglene.
Til slutt må du øve på å bruke dem.
Mengdetrening er nødvendig.
Det er gjennom regning du viser at du virkelig har forstått stoffet.
Hvordan lærer du matematikk?
Det er forskjell på å pugge og å forstå.
Eksempel 1
I dag vil jeg lære hva primtall, oddetall og partall er.
Dette er i stor grad ren pugging. Du må lære navnene og hva de betyr. Når du skal pugge, kan det være lurt å lage rare eller morsomme regler, bilder eller historier. Jo mer uvanlig koblingen er, desto lettere er den å huske.
Eksempel 2
I dag vil jeg lære om regnerekkefølgen, som omfatter ledd og produkter.
Dette er mer enn bare pugging. Først må du vite hva begrepene betyr. Deretter må du lære reglene. Til slutt må du øve på å bruke dem.
Prøv alltid å sette ord på det du gjør mens du regner. Forklar gjerne høyt eller for deg selv hvorfor du gjør hvert steg. Da utvikler du forståelse.
Husk
- Matematikk læres ved å regne.
- Mengdetrening er nødvendig.
- Det tar tid å bygge forståelse.
- Det er når du regner oppgaver at du viser at du virkelig har forstått.
- Ikke gå videre før du behersker det du holder på med.
Min sjekkliste
Skriv dato når du mestrer et tema. Bruk kommentarfeltet til å notere hva du må øve mer på.
| Tema | Dato | Jeg kan dette | Kommentar |
|---|---|---|---|
| Primtall | ☐ | ||
| Oddetall og partall | ☐ | ||
| Multiplikasjon | ☐ | ||
| Divisjon | ☐ | ||
| Addisjon | ☐ | ||
| Subtraksjon | ☐ | ||
| Multiplisere to brøker | ☐ | ||
| Multiplisere brøk og heltall | ☐ | ||
| Utvide brøker | ☐ | ||
| Forkorte brøker | ☐ | ||
| Legge sammen brøker med samme nevner | ☐ | ||
| Legge sammen brøker med ulik nevner | ☐ | ||
| Finne fellesnevner | ☐ | ||
| Regnerekkefølgen | ☐ | ||
| Potenser | ☐ | ||
| Kvadratrøtter | ☐ | ||
| Desimaltall | ☐ | ||
| Negative tall | ☐ | ||
| Finne prosenten av et tall | ☐ | ||
| Finne prosentdelen | ☐ | ||
| Finne hele tallet når prosenten og delen er kjent | ☐ | ||
| Likninger | ☐ |
Min arbeidsplan
Når jeg begynner på et nytt tema, skal jeg:
- Lære de nye ordene og begrepene.
- Forstå reglene.
- Regne enkle oppgaver.
- Regne vanskeligere oppgaver.
- Forklare med egne ord hvordan jeg tenker.
- Øve til jeg klarer oppgavene uten hjelp.
- Krysse av i sjekklisten og skrive dato.