Bevis for derivasjon av produkt
Vi har:
<math>
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}
</math> dersom grensen eksisterer.
Videre har man at:
\[f(x)=g(x) \cdot h(x) \]
og
\[ g'(x)= \lim_{ \Delta x\to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x} \]
og
\[ h'(x)= \lim_{ \Delta x\to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x} \]
Som gir:
\[ f'(x) = \lim_{ \Delta x\to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} = \lim_{ \Delta x\to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x} \]
Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man
gjøre ved å legge til og trekke fra <math>g(x)h(x+ \Delta x )</math> i brøkens teller. Vi legger til null.
Man får da:
\[ f'(x) = \lim_{ \Delta x\to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} \]
\[ = \lim_{ \Delta x\to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x ) + {\color{red}( } g(x)h(x+ \Delta x )-g(x)h(x+ \Delta x ) {\color{red})} -g (x)h(x)}{\Delta x}\]
\[ = \lim_{ \Delta x\to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x))h(x+ \Delta x) +(h(x+ \Delta x ) -h(x))g(x)}{\Delta x} \]
\[ = \lim_{ \Delta x\to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}h(x+ \Delta x)+ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{h(x+ \Delta x)-h(x)}{\Delta x}g(x)\]
\[=g'(x)h(x) + h'(x) g(x)\]
Det forutsettes at g'(x) og h'(x) eksisterer.