Bevis for at kvadratroten av 2 er irrasjonal

Fra Matematikkk.net
Hopp til:navigasjon, søk

Vi bruker teknikken med motsigelse.

Dersom et tall er irrasjonalt kan vi ikke skrive det som en brøk. La oss prøve å skrive kvdratroten av to som en brøk der teller og nevner ikke har noen felles faktorer.

$ \sqrt 2 = \frac ab \\ 2 = \frac{a^2}{b^2} \\ 2b^2 = a^2$

Det betyr at $a^2$ og a er delelig på 2.

Det betyr at a kan skrives som et tell, k, multiplisert med 2:

$a=2k$

Innsatt for a i uttrykket $2b^2= a^2$ gir det

$2b^2=a^2 \\ 2b^2 = (2k)^2 \\ 2b^2= 4k^2 \\ b^2 =2k^2$

Hvilket betyr at $b^2$ og b er delelig på 2.

Dette er en motsigelse i forhold til hva vi forutsatte. Kvadratroten av to kan ikke skrives som en brøk og er derved irrasjonal.