Bevis -derivasjon sinus
f(x) = sin(x). Skal bevise at f'(x) = cos(x)
$ \displaystyle{f' (x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {sin(x + \Delta x)- sin(x)}{\Delta x}} $
$ f'(x)= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{sin(x)Cos(\Delta x)+cos(x)sin(\Delta x)- sin(x)}{ \Delta x} $
$ f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{sin(x) (cos(\Delta x) -1) +cos(x)sin(\Delta x)}{\Delta x} $
$ f'(x) =\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} sin(x) \cdot \frac{cos(\Delta x) -1}{\Delta x} + \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}cos(x) \cdot \frac{sin(\Delta x)}{\Delta x} $
$ f'(x) = sin(x) \cdot \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{cos(\Delta x) -1}{\Delta x} + cos(x) \cdot\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{sin(\Delta x)}{\Delta x}}$
Nå kommer vi ikke videre før vi har sjekket ut de to grenseverdiene, men det ligger vel i kortene hva de må være siden vi vet hva vi ønsker å bevise...
Grenseverdiene $\displaystyle \lim_{x\to \ 0} \frac{sin(x)}{x} $ og $\displaystyle \lim _{x\to \ 0} \frac{cos(x)-1}{x}$
Vi tar først $ \displaystyle \lim_{x\to \ 0} \frac{sin(x)}{x} $
Tangens til v er lik lengden av linjestykke CD. De to trekantene er formlike og sirkelen har radius 1: $\frac{sin(v)}{cos(v)} = \frac{tan(v)}{1}$. som gir oss en definisjon for tangens som vi kjenner fra før.
Buelengden BC har har lengden v radianer, siden radius er 1. Buelengden BC er lengre enn Sin(v), men kortere enn Tan(v) (observasjon). Vi får da:
$ sin(v)< v < tan(v) $
$ 1 < \frac{v}{sin(v)} < \frac{1}{cos(v)} $
$ 1> \frac{sin (v)}{v}> cos(v) $
Når v går mot null går cos(v) mot 1. $\frac{sin(v)}{v}$ ligger mellom to størrelser som begge går mot en når x går mot null. Derfor er:
$\displaystyle \lim_{x \to \ 0} \frac{sin(v)}{v} =1$
Da er den bevist.
Så er det $ \displaystyle\lim_{x \to \ 0} \frac{cos(x)-1}{x}$ :
$ \displaystyle\lim_{x \to \ 0} \frac{cos(x)-1}{x} \cdot \frac{cos(x)+1}{cos(x) + 1} $
$ = \displaystyle\lim_{x \to \ 0} \frac{cos^2(x)-1}{x( cos(x)+ 1)} $
$ = \displaystyle\lim_{x \to \ 0} \frac{sin^2(x)}{x( cos(x)+ 1)} $
$ = \displaystyle\lim_{x \to \ 0} \frac{sin(x)}{x} \cdot \displaystyle\lim_{x \to \ 0} \frac{sin(x)}{ cos(x)+ 1} \\ = 1 \cdot 0 =0$
Da kan vi fullføre beviset.
$ f'(x) = sin(x) \cdot \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{cos(\Delta x) -1)}{\Delta x} + cos(x) \cdot\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{sin(\Delta x)}{\Delta x} $
$ f'(x) = sin(x) \cdot 0 + cos (x) \cdot 1 = cos(x)$
QED.
