3MN-150693
NASJONALT SEKRETARIAT FOR ELEVVURDERING
Studieretning for allmenne fag
EKSAMEN VÅREN 1993
Kode AF 3066
15. juni
MATEMATIKK 3MN
Bokmålstekst
- Eksamenstid
5 timer
- Hjelpemidler
Lommeregner
Symbol- og terminologiliste med formelsamling, utgitt av RVO.
OPPGAVE 1
a) Deriver funksjonene gitt ved
- <math>f(x)=e^{\sin x}</math>
- <math>g(x)=\frac13x(\ln x)^3</math>
b)
Finn de eksakte løsningene til likningen
- <math>\tan2x=\frac1{\sqrt3},\qquad x\in\langle-\pi,\pi\rangle</math>
c)
Vi har gitt tre punkter
- <math>A(6,-4,4),\quad B(2,1,2)\quad\text{og}\quad C(3,-1,4).</math>
Bestem avstanden fra <math>A</math> til den rette linjen gjennom <math>B</math> og <math>C</math>.
d)
- Hva menes med det ubestemte integralet til en funksjon <math>f</math>?
- Forklar kort hva vi mener med det bestemte integralet
- <math>\int_a^b f(x)\,dx</math>
- Vis at
- <math>\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx</math>
e)
- Deriver funksjonen <math>f</math> gitt ved
- <math>f(x)=\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)</math>
- Regn ut
- <math>\int_0^1\frac1{\sqrt{x^2+1}}\,dx</math>
OPPGAVE 2
a)
Funksjonen <math>f</math> er gitt ved
- <math>f(x)=2\sin^2x-\sin2x,\qquad D_f=\mathbb R</math>
Vis at
- <math>f(x+\pi)=f(x)</math>
Hva forteller dette om funksjonen <math>f</math>?
b)
Funksjonen <math>g</math> er gitt ved
- <math>g(x)=2\sin^2x-\sin2x,\qquad D_g=[0,2\pi]</math>
- Regn ut nullpunktene til <math>g</math>.
- Vis at <math>g(x)</math> kan skrives på formen
- <math>g(x)=1-\sqrt2\cos\!\left(2x-\frac\pi4\right)</math>
- Bestem koordinatene til topp- og bunnpunktene på grafen til <math>g</math>.
- Tegn grafen til <math>g</math>. Bruk 2 cm som enhet på begge aksene.
- Bestem arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafen til <math>g</math>, andreaksen og linjen <math>y=1</math>.
OPPGAVE 3
I en regulær pyramide <math>ABCDT</math> er grunnflaten <math>ABCD</math> et kvadrat. Høyden i pyramiden er lik <math>3</math>.
Pyramiden blir plassert i et koordinatsystem med grunnflaten i <math>xy</math>-planet.
<math>A</math> får koordinatene <math>(2,0,0)</math>, og <math>D</math> får koordinatene <math>(0,2,0)</math>. <math>B</math> og <math>C</math> får positive første- og andreakoordinater. Toppunktet <math>T</math> ligger over <math>xy</math>-planet.
a)
Vis at <math>B</math> får koordinatene <math>(4,2,0)</math>.
Bestem koordinatene til <math>C</math> og <math>T</math>.
Regn ut volumet av pyramiden.
b)
Bestem likningen for planet <math>\alpha</math> gjennom <math>A</math>, <math>D</math> og <math>T</math>.
Regn ut vinkelen mellom <math>\alpha</math> og <math>xy</math>-planet.
Et plan <math>\beta</math> går gjennom <math>A</math> og <math>D</math>. Planet skjærer sidekanten <math>BT</math> i midtpunktet <math>M</math> og sidekanten <math>CT</math> i <math>N</math>.
c)
Finn likningen for planet <math>\beta</math>.
Regn ut avstanden fra <math>T</math> til <math>\beta</math>.
Finn arealet av snittflaten <math>AMND</math>.
d)
Pyramidedelen <math>AMNDT</math> dreies om <math>AD</math> til flaten <math>AMND</math> står normalt på <math>xy</math>-planet. Punktet <math>M</math> skal fortsatt ha positiv tredjekoordinat.
Bestem koordinatene til <math>M</math> og <math>T</math> etter dreiingen.
OPPGAVE 4
a)
En bestemt dose av en medisin gir en konsentrasjon i blodet på <math>50</math> mg per liter like etter at dosen er gitt.
Funksjonen <math>f</math> gitt ved
- <math>f(t)=50\cdot e^{-0,116t},\qquad t\in\mathbb{R}^{+}</math>
gir konsentrasjonen i mg per liter i blodet <math>t</math> timer etter at dosen ble gitt.
- Hvor stor er konsentrasjonen i blodet etter seks timer?
Seks timer etter at en pasient fikk første dose, får han en like stor dose av samme medisin.
- Hvor stor er konsentrasjonen i blodet 12 timer etter at første dose ble gitt?
b)
En bestemt dose av en medisin gir en konsentrasjon i blodet på <math>C_0</math> (målt i mg per liter) like etter at dosen er gitt.
Funksjonen <math>f</math> gitt ved
- <math>f(t)=C_0\cdot e^{-kt},\qquad t\in\mathbb{R}^{+}</math>
gir konsentrasjonen i blodet <math>t</math> timer etter at dosen ble gitt. Her er <math>k</math> en positiv konstant.
En pasient har med <math>t_0</math> timers mellomrom fått like store doser av samme medisin.
- Vis at konsentrasjonen i blodet like før pasienten får den <math>(n+1)</math>-te dosen, kan skrives som
- <math>F(n)=C_0\left[e^{-kt_0}+\left(e^{-kt_0}\right)^2+\left(e^{-kt_0}\right)^3+\cdots+\left(e^{-kt_0}\right)^n\right]</math>
- Forklar hvorfor konsentrasjonen like før neste dose blir gitt etter hvert nærmer seg verdien
- <math>\frac{C_0}{e^{kt_0}-1}</math>
Konsentrasjonen i blodet rett etter at pasienten har fått en dose, skal ikke overskride <math>C</math> (mg per liter).
- Vis at dette medfører
- <math>t_0\ge\frac1k\ln\!\left(\frac{C}{C-C_0}\right)</math>