3MN-080694

EKSAMENSSEKRETARIATET

MATEMATIKK 3MN

AF 3066

Bokmål

8. juni 1994

Studieretning for allmenne fag, VK II

Eksamenstid

5 timer

Hjelpemidler

Lommeregner

Symbol- og terminologiliste med formelsamling, utgitt av RVO

Andre opplysninger

Alle resultater skal grunngis.

Vær nøye med å føre inn nødvendig mellomregning eller forklaring slik at resonnementet kommer tydelig fram.

Skriv på første side av svararket navn og type på den lommeregneren du har brukt ved eksamen.

---

OPPGAVE 1

a) Deriver funksjonene gitt ved

1. <math>f(x)=\cos 5x</math>
2. <math>f(x)=x^2\cdot e^{-2x}</math>

b)

Løs likningen ved regning

<math>4\cos x-5\sin x=3,\qquad x\in[0,2\pi\rangle</math>

c)

Regn ut grenseverdien

<math>\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}</math>

d)

1. Bestem integralet

<math>\int \sin x\cdot\cos x\,dx</math>

1. Bruk delbrøkoppspalting til å bestemme integralet

<math>\int\frac{3}{x^2-5x+4}\,dx</math>

---

OPPGAVE 2

I en pyramide <math>ABCDT</math> er grunnflata <math>ABCD</math> et parallellogram.

Sidene i parallellogrammet har lengde <math>4</math>. Diagonalen <math>BD</math> har lengde <math>4</math> og står normalt på diagonalen <math>AC</math>. Skjæringspunktet mellom diagonalene er <math>E</math>.

Sidekanten <math>AT</math> har lengde <math>6</math>, og <math>TE</math> står normalt på grunnflata.

a)

Regn ut vinkelen mellom sidekanten <math>AT</math> og grunnflata.

b)

Finn volumet av pyramiden.

c)

Bestem vinkelen mellom diagonalen <math>BD</math> i grunnflata og sidekanten <math>AT</math>.

---

OPPGAVE 3

I et koordinatsystem er gitt punktet

<math>A(1,-3,-2)</math>

og vektoren

<math>\vec{u}=[1,2,-1]</math>

Linja <math>l</math> går gjennom <math>A</math> og er parallell med <math>\vec{u}</math>.

a)

Finn en parameterframstilling for linja <math>l</math>.

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom <math>l</math> og <math>yz</math>-planet.

Linja <math>m</math> er gitt ved

<math>\begin{cases}

x=8+3s\\ y=1+s\\ z=-5-s \end{cases}</math>

b)

Undersøk om linja <math>m</math> vil skjære linja <math>l</math>.

Regn ut vinkelen mellom linjene.

Et plan <math>\alpha</math> er gitt ved likningen

<math>\alpha:\;5x-2y-z+6=0</math>

c)

Regn ut vinkelen mellom linja <math>l</math> og planet <math>\alpha</math>.

Et plan <math>\beta</math> går gjennom punktet

<math>B(2,-1,-3)</math>

Planet er parallelt med linjene <math>l</math> og <math>m</math>.

d)

Finn likningen for planet <math>\beta</math>.

e)

Bestem en parameterframstilling for en av de rette linjene som har avstanden

<math>\frac{\sqrt{30}}{2}</math>

fra både <math>\alpha</math> og <math>\beta</math>.

---

OPPGAVE 4

a)

Bestem ved regning løsningsmengden til likningen

<math>2(\ln x)^2+\ln x-1=0</math>

b)

Vis ved å innføre

<math>u=\ln x</math>

som ny variabel at integralet

<math>\int\frac{\ln x}{x(2\ln x+1)}\,dx</math>

kan omformes til

<math>\int\frac{u}{2u+1}\,du</math>

c)

Funksjonen <math>f</math> er gitt ved

<math>f(x)=\frac{7\ln x}{x(2\ln x+1)}, \qquad D_f=\left\langle\frac1{\sqrt e},\rightarrow\right\rangle</math>

1. Bestem nullpunktet til funksjonen.
2. Finn likningene til eventuelle asymptoter til grafen til <math>f</math>.
3. Regn ut <math>f'(x)</math> og bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen.
4. Tegn grafen. Bruk 2 cm som enhet på begge aksene.
5. Bestem den eksakte verdien til arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafen til <math>f</math>, førsteaksen og linja <math>x=e</math>.

---

OPPGAVE 5

a)

Vis at

<math>\int te^{-kt}\,dt

=-\frac{e^{-kt}}{k^2} -\frac{te^{-kt}}{k} +C, \qquad k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}</math>

b)

Et radioaktivt stoff brytes ned ved radioaktiv stråling. Antallet radioaktive atomer i stoffet vil minke etter hvert som tida går. Den radioaktive strålingen ved et tidspunkt er proporsjonal med antall radioaktive atomer ved samme tidspunkt.

Ved et bestemt tidspunkt <math>t=0</math> setter vi antall radioaktive atomer lik <math>N(0)</math>. Etter tida <math>t</math> er antallet gitt ved

<math>N(t)=N(0)\cdot e^{-kt}</math>

der <math>k</math> er et positivt, konstant tall.

Halveringstida <math>T</math> for et radioaktivt stoff er bestemt ved likningen

<math>N(T)=\frac12N(0)</math>

1. Vis at

<math>T=\frac{\ln2}{k}</math>

Halveringstida for et bestemt radioaktivt stoff er <math>5,3</math> år. Etter en atomulykke er strålingen fra dette stoffet <math>100</math> strålingsenheter.

1. Hvor lang tid vil det ta før den radioaktive strålingen er redusert til <math>1</math> enhet?

Et bestemt stoff har sendt ut radioaktiv stråling i <math>n</math> år. Den gjennomsnittlige levetida til de radioaktive partiklene er gitt ved uttrykket

<math>f(n)=0,13\int_0^n te^{-0,13t}\,dt</math>

1. Finn den gjennomsnittlige levetida <math>f(n)</math> uttrykt ved <math>n</math>.

Det kan vises at

<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0</math>

1. Bestem grenseverdien

<math>\lim_{n\to\infty}f(n)</math>