3MN-010695

EKSAMENSSEKRETARIATET

MATEMATIKK 3MN

AF 3066 Bokmål

1. juni 1995

Studieretning for allmenne fag, VK II

Eksamenstid

5 timer

Hjelpemidler

Lommeregner

Symbol- og terminologiliste med formelsamling, utgitt av RVO

Andre opplysninger

Alle resultater skal grunngis.

Vær nøye med å føre inn nødvendig mellomregning eller forklaring slik at resonnementet kommer tydelig fram.

Skriv på første side av svararket navn og type på den lommeregneren du har brukt ved eksamen.

---

OPPGAVE 1

a) Deriver funksjonene gitt ved

1. \(f(x)=\sin x\cdot\cos x\)
2. \(f(x)=e^{x^2-4x}\)

b)

1. Vis ved delbrøkoppspalting at

<math>\frac{4x-4}{x^2-4x}=\frac1x+\frac3{x-4}</math>

1. Bestem den eksakte verdien av integralet

<math>\int_{2}^{3}\frac{4x-4}{x^2-4x}\,dx</math>

c) Løs følgende likninger

1. <math>\tan\left(4x+\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt3=0,\qquad x\in[0,\pi\rangle</math>

1. <math>\ln(x-2)+\ln(x-1)=3\ln2-\ln4</math>

OPPGAVE 2

En funksjon <math>f</math> er gitt ved

<math>f(x)=4000-100x+600\cos\!\left(\frac{\pi}{6}x\right), \qquad D_f=[0,13]</math>

Antall fisk i en innsjø i perioden 1980–1993 kan tilnærmet beskrives ved <math>f(x)</math> der <math>x\in\{0,1,2,\ldots,13\}</math>. Her er <math>x</math> antall år etter 1980, dvs. at <math>f(0)</math> svarer til gjennomsnittlig antall fisk i 1980, <math>f(1)</math> svarer til gjennomsnittlig antall fisk i 1981 osv.

a)

Hva var gjennomsnittlig antall fisk i innsjøen i 1984?

b)

Regn ut hvilket år det var færrest fisk i innsjøen.

Hva var gjennomsnittlig antall fisk dette året?

c)

I hvilket år var veksthastigheten størst i denne perioden?

Hvor stor var denne veksthastigheten?

---

OPPGAVE 3

I et koordinatsystem er gitt punktene

<math>A(1,1,0),\qquad B(4,1,1)\qquad \text{og}\qquad C(2,0,-1).</math>

a)

Regn ut <math>\angle ABC</math>.

Punktene <math>A</math>, <math>B</math> og <math>C</math> ligger i et plan <math>\alpha</math>.

b)

Finn likningen for <math>\alpha</math>.

Et punkt <math>D</math> har koordinatene <math>(3,10,4)</math>.

c)

Bestem volumet av pyramiden <math>ABCD</math>.

En rett linje går gjennom <math>D</math>, er parallell med planet <math>\alpha</math> og skjærer <math>z</math>-aksen i punktet <math>P</math>.

d)

Regn ut koordinatene til <math>P</math>.

---

OPPGAVE 4

Funksjonen <math>f</math> er gitt ved

<math>f(x)=\frac{e^{2x}-4e^x+3}{e^{2x}}, \qquad D_f=\mathbb{R}</math>

a)

Regn ut nullpunktene til funksjonen. Gi svarene som eksakte verdier.

b)

Vis at

<math>f'(x)=\frac{4e^x-6}{e^{2x}}.</math>

Regn ut koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til <math>f</math>.

c)

Bestem likningene til eventuelle asymptoter til grafen til <math>f</math>.

d)

Tegn grafen til <math>f</math>. Bruk 2 cm som enhet på førsteaksen og 4 cm som enhet på andreaksen.

Et flatestykke er avgrenset av grafen til <math>f</math> og førsteaksen.

e)

Regn ut arealet av dette flatestykket.

f)

Vis at funksjonen <math>g</math> gitt ved

<math>g(x)=\frac{e^{2x}-4e^x+3}{e^{2x}}, \qquad D_g=\left[\ln\frac32,\rightarrow\right\rangle</math>

har en omvendt funksjon.

Bestem funksjonsuttrykket for den omvendte funksjonen.

---

OPPGAVE 5

a)

1. Gi et eksempel på en aritmetisk tallfølge.
2. Gi et eksempel på en divergent geometrisk rekke.

1. I en geometrisk rekke er det første leddet <math>a_1=2</math> og det andre leddet <math>a_2=2\sqrt3</math>. Bestem eksakt verdi for summen av de 8 første leddene.

b)

I en tallfølge er det <math>n</math>-te leddet gitt ved

<math>a_n=\frac{3^{\,n-1}}{2^{\,2n-1}}, \qquad n\ge1</math>

1. Vis at tallfølgen er konvergent.
2. Undersøk om den uendelige rekka

<math>a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots</math>

er konvergent.

c)

Den naturlige logaritmen til seks tall utgjør de seks leddene i en aritmetisk rekke. Rekkas differens er lik <math>-1</math> og rekkas sum er lik <math>9</math>.

Finn tallene.