2MN-300589

RÅDET FOR VIDEREGÅENDE OPPLÆRING

Studieretning for allmenne fag

Naturfaglinja, 2. årstrinn

MATEMATIKK 2MN

EKSAMEN VÅREN 1989

Kode AF 3062

30. mai

Bokmålstekst

Nynorsk tekst på den andre siden.

Oppgaven har 2 tekstsider.

Eksamenstid

5 timer

Hjelpemidler

Lommeregner

Symbol- og terminologiliste med formelsamling, utgitt av RVO

---

OPPGAVE 1

a)

Deriver funksjonen <math>f</math> gitt ved

<math>f(x)=x^3-3x^2-\frac1x</math>

b)

Bestem følgende grenseverdier hvis de eksisterer.

1. <math>\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x-2}{x^2-4}</math>
2. <math>\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^3-7x^2+12x}{x-3}</math>

c)

Skriv så enkelt som mulig:

<math>\frac{(xy^3)^{\frac23}}{(x^2y^2)^{\frac13}}</math>

d)

Løs likningene.

1. <math>1-3\cos x=0,\qquad x\in[0^\circ,360^\circ\rangle</math>
2. <math>4\sin^2x-4\sin x-3=0,\qquad x\in[0^\circ,360^\circ\rangle</math>

e)

Løs likningssettet

<math>\begin{cases} x^2+y^2=25\\ x+y=1 \end{cases}</math>

f)

1. Bruk definisjonen av den deriverte til å finne <math>f'(x)</math> når

<math>f(x)=\sqrt{x},\qquad x>0.</math>

1. Bestem den største verdien til funksjonen <math>F</math> gitt ved

<math>F(x)=x+\sqrt{5-x},\qquad x\le5.</math>

---

OPPGAVE 2

En trekant har vinkler med toppunkt i <math>A</math>, <math>B</math> og <math>C</math>. De tilsvarende motstående sidene er <math>a</math>, <math>b</math> og <math>c</math>.

a)

Vis at arealet av trekanten kan skrives som

<math>\frac12ab\sin C.</math>

I trekanten <math>ABD</math> er

<math>\angle A=60,0^\circ,\qquad AB=14,0,\qquad AD=6,0.</math>

b)

Regn ut <math>BD</math> og arealet av trekanten.

Videre er et punkt <math>C</math> gitt ved at

<math>\angle DBC=65,0^\circ</math>

og

<math>DC=x.</math>

c)

Undersøk hvilke verdier av <math>x</math> som gir bare én trekant <math>BCD</math>, og hvilke som gir to mulige trekanter <math>BCD</math>, når <math>AC</math> skal være diagonalen i firkanten <math>ABCD</math>.

---

OPPGAVE 3

I et koordinatsystem har vi gitt punktene

<math>A(2,2),\quad B(6,3)\quad\text{og}\quad C(12,13).</math>

a)

Bestem koordinatene til

<math>\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}</math>

og

<math>\overrightarrow{BC}.</math>

Regn ut vinkelen <math>ABC</math>.

En rett linje gjennom <math>C</math> parallell med <math>AB</math> skjærer andreaksen i <math>D</math>.

b)

Finn ved regning koordinatene til <math>D</math>.

Vis at

<math>\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{DC}.</math>

Et punkt <math>P</math> er gitt ved at

<math>\overrightarrow{PD}=3\overrightarrow{BP}.</math>

c)

Bestem koordinatene til <math>P</math>.

Vis at punktet <math>P</math> ligger på <math>AC</math>.

Skriv

<math>\overrightarrow{PC}</math>

uttrykt ved

<math>\overrightarrow{AB}</math>

og

<math>\overrightarrow{AD}.</math>

d)

Finn forholdet mellom arealet av trekanten <math>ABD</math> og arealet av trekanten <math>BCD</math>.

---

OPPGAVE 4

Funksjonen <math>f</math> er gitt ved

<math> f(x)= \begin{cases} x^3-3x, & -2\le x\le2,\\[1ex] \dfrac{x^2-2x+2}{x-1}, & x>2. \end{cases} </math>

a)

1. Bestem nullpunktene til funksjonen.
2. Undersøk om funksjonen <math>f</math> er kontinuerlig for <math>x=2</math>.
3. Bestem ved regning koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til <math>f</math>.
4. Finn likningen for asymptoten til grafen til <math>f</math>. Tegn grafen til <math>f</math> med asymptote på millimeterpapir. Bruk 2 cm som enhet på begge aksene.

b)

Gjennom punktet <math>(-1,3)</math> kan vi trekke de to rette linjene <math>m</math> og <math>n</math> gitt ved

<math>m:\ y=-3x</math>

<math>n:\ y=\frac{15}{4}x+\frac{27}{4}</math>

1. Vis at <math>m</math> og <math>n</math> er tangenter til grafen til <math>f</math>. Finn koordinatene til tangeringspunktene.
2. Bestem arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafen til <math>f</math> og linjene <math>m</math> og <math>n</math>.