1T 2026 vår LK20 LØSNING

DEL 1

Oppgave 1

$x^2+7x+6\leq 0$

Faktoriserer direkte. Vi har $6+1=7$ og $6\cdot 1=6$, så faktorene er $x+6$ og $x+1$.

$(x+6)(x+1)\leq 0$

Lager fortegnsskjema.

Løsning: $x\in[-6, -1]$

Kan også skrives som $-6\leq x \leq -1$

Oppgave 2

a)

Vi har et uttrykk for y i likning 1:

$-x^2+4=y$

Setter inn dette uttrykket i likning 2:

$x-y=2$

$x-(-x^2+4)=2$

$x+x^2-4=2$

$x^2+x-6=0$

$(x+3)(x-2)=0$

$x_1=-3$ og $x_2=2$

Bruker likning 2 til å regne ut y-verdiene:

$x-y=2$

$y=x-2$

$y_1=-3-2=-5$ og $y_2=2-2=0$

Løsning: (-3,-5) og (2,0)

b)

Grafisk (må gjøres for hånd).

Likning 1 er en andregradsfunksjon. Siden den har negativt andregradsledd, buer den nedover (har toppunkt).

Jeg ser at nullpunktene må være $x=-2$ og $x=2$. Funksjonen har konstantledd 4, så den skjærer y-aksen i y=4. Dette er også toppunktet, siden symmetrilinja er midt mellom nullpunktene, i x=0.

Det kan være lurt å regne ut noen punkter for å tegne nøyaktig.

x-verdi	-3	-2	-1	0	1	2	3
y-verdi	-5	0	3	4	3	0	-5

Likning 2 må jeg omforme til $y=x-2$. Dette er en lineær funksjon, med stigningstall 1 og konstantledd -2 (skjærer y-aksen i y=-2).

Løsningen er i de punktene der grafene skjærer hverandre: (-3, -5) og (2,0).

Oppgave 3

$2x^3+3x^2-18x+8=0$

Prøver meg frem og finner at x=2 er et nullpunkt. Deler da uttrykket på x-2.

Bruker abc-formelen videre:

$2x^2+7x-4=0$

$x=\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot 2\cdot (-4)}}{2\cdot 2}$

$x=\frac{-7\pm\sqrt{49+32}}{4}$

$x=\frac{-7\pm\sqrt{81}}{4}$

$x_1=\frac{-7-9}{4}=\frac{-16}{4}=-4$

$x_2=\frac{-7+9}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Løsning: $x\in \{-4, \frac{1}{2}, 2\}$

Oppgave 4

$a(x+b)^2=x^2+8x+c$

Første kvadratsetning er en identitet - likningen stemmer for alle x.

$a=1$

$b=\frac{8}{2\cdot 1}=4$

$c=4^2=16$

Vi har $(x+4)^2=x^2+8x+16$

Oppgave 5

$ \begin{aligned} 0 \cdot 1 + 1 = 1 \\ 1 \cdot 2 + 1 = 3 \\ 2 \cdot 3 + 1 = 7 \\ 3 \cdot 4 + 1 =13 \end{aligned} $

a)

$7 \cdot 8 + 1 = 57$

b)

$(n-1)n +1 = n^2-n+1$

Oppgave 6

Vi har

$tan\, A =\frac{motstående\, katet}{hosliggende\, katet}=1$

Katetene i den rettvinklede trekanten må derfor være like lange, for eksempel AB=1 og BC=1.

Oppgave 7

a)

Vi tar utgangspunkt i en av de små rettvinklede trekantene. Siden vinklene er 30 og 90 grader, har vi en 30-60-90 trekant. Da er det korteste katetet halvparten så lang som hypotenusen, altså 2.

Vi har:

$sin \,30^o=\frac{motstående \, katet}{hypotenus}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, hvilket skulle vises.

Bruker pytagorassetningen for å finne det lengste katetet:

$k^2+2^2=4^2$

$k^2=16-4$

$k=\sqrt{12}$

$k=\sqrt{3\cdot 4}$

$k=2\sqrt{3}$

Vi har:

$cos \,30^o=\frac{hosliggende \, katet}{hypotenus}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, hvilket skulle vises.

b)

Bruker arealsetningen.

$A=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{3}\cdot 4\cdot sin\,30^o$

$A=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{3}\cdot 4\cdot \frac{1}{2}$

$A=10\sqrt{3}$

c)

Bruker først cosinussetningen $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$ til å bestemme lengden av siden på motsående side av vinkelen på $30^\circ$.

$x^2=(10\sqrt{3})^2+4^2-2\cdot10\sqrt{3}\cdot 4\cdot \cos 30^\circ$

$x^2=(10\sqrt{3})^2+4^2-2\cdot10\sqrt{3}\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x^2=100\cdot 3+16-120$

$x^2=196$

$x=\sqrt{196}$

$x=14$

Omkretsen er da:

$10\sqrt{3}+4+14=10\sqrt{3}+18$

Oppgave 8

a)

Dersom en rasjonal funksjon har to vertikale asymptoter, må nevneren ha to nullpunkter, for eksempel $x^2-4$. Da vil funksjonen ha vertikale asymptoter i x=-2 og x=2.

Dersom en rasjonal funksjon ikke skal ha noen nullpunkter, må telleren være et uttrykk som ikke kan bli null for noen x, for eksempel $x^2+1$.

Vi har for eksempel:

$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}$

Denne oppgaven har mange mulige løsninger.

b)

Dersom en rasjonal funksjon ikke skal skjære y-aksen, må den ha en vertikal asymptote i x=0. Nevneren kan for eksempel være x.

Dersom en rasjonal funksjon skal ha horisontal asymptote for y=2, må funksjonen gå mot y=2 når x går mot uendelig. Telleren kan f.eks. være 2x+1.

Vi har for eksempel:

$g(x)=\frac{2x+1}{x}$

Denne oppgaven har også mange mulige løsninger.

Oppgave 9

a)

Vi ser på figuren at $f'(4)=5$, fordi stigningstallet i punktet (4,0) er 5. Dette er den momentane vekstfarten, altså den deriverte av funksjonen, i x=4.

b)

Vi har $f'(4)=5$ og $f'(-1)=0$. Det siste fordi den deriverte i bunnpunktet er 0 (ingen vekst).

Punktene (-1,0) og (4,5) er to punkter på grafen til f'(x). Vi vet at siden f(x) er en andregradsfunksjon, må f'(x) være en lineær funksjon. Finner stigningstallet til f'(x):

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{5-0}{4-(-1)}=\frac{5}{5}=1$

Bruker ettpunktsformelen:

$y-y_1=a(x-x_1)$

$y-0=1(x-(-1))$

$y=x+1$

Vi har $f'(x)=x+1$

DEL 2

a)

Bilen slipper ut 176,5 gram per kilometer, ved 50 km/t.

b)

Fra figuren i a ser man at 71,5 km /h gir lavest utslipp, ca 163 gram / kilometer.

c)

Når en bil kjører 90 km på en time vil den tilbakelegge 30 km på 20 minutter. ($v= \frac st$) Fra figuren i a ser man at utslipp per kilometer er 170 gram/km. Multiplisert med 30 km blir det 5100 gram, eller 5,1 kg.

Oppgave 2

a)

Bruker CAS til å løse cosinussetningen:

$AB=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\approx 1,932$

b)

Bruker CAS. Bestemmer først arealet av trekant ABC (linje 2), deretter lengden av CD, vinkelen ACD, og arealet av trekant ACD. Legger til slutt sammen arealene av de to trekantene.

Arealet av trekant ABD er $\frac{1}{12}(5\sqrt{3}+9)\approx 1,472$

Oppgave 3

a) og b)

Utfører regresjonsanalyse i Geogebra.

Den lineære modellen ut fra Tors antakelser blir $f(x)=-722x+9000$.

Modellen forteller at bestanden vil synke med 722 par viper per år fremover. Bestanden blir null ca. 12,5 år etter 2013.

Den eksponensielle modellen ut fra Egils antakelser blir $g(x)=9000\cdot 0,867^x$.

Modellen forteller at bestanden vil synke med 13,3 % per år i årene fremover, og etter hvert gå mot null (ca. 40 år etter 2013).

c)

Bruker regresjonsanalyse i Geogebra.

For modellen p, antar Egil at det er 7000 par viper i år 0 (vi vet ikke hvilket årstall dette er, men kanskje 2013?). Han antar deretter at det er 500 par viper igjen etter 9 år. Han antar at populasjonen synker med 25,4 % per år, og at populasjonen går mot null i årene som kommer.

Vi har:

$p(x)=7000\cdot 0,746^x$

Egil endrer på modellen, og får modellen q:

$q(x)=7000\cdot 0,746^x+2000$

Her har Egil bare lagt til et konstantledd på 2000, slik at populasjonen starter på 9000 par viper, synker med 25,4 % per år, og stabiliserer seg på 2000 par viper i fremtiden.

Oppgave 4

Figurnummer	1	2	3	4
Antall pinner	1	3	5	7
Antall kuler	0	2	6	12

Ser at antall pinner er oddetallene. Antall pinner i figur n er $P_n=2n-1$.

Antall kuler er figurnummeret ganget med forrige figurnummer. Antall kuler i figur n er $K_n=n(n-1)=n^2-n$

Lager et program som beregner hvor mange pinner og kuler Kristian vil trenge for å lage de 50 første figurene. Jeg tolker det slik at han skal lage alle figurene til sammen (ikke kun figur nr. 50).

Kristian trenger 41650 kuler og 2500 pinner for å lage de 50 første figurene.