matematikk.net

Kan noen denne?

Et kar fylt med vann har kvadratisk tverrsnitt med sidekant 4.0m og høyde 5.0m. Hvor lang tid tar det å tømme karet gjennom et lite hull i bunnen når vannstanden er sunket 1m etter 20 min?

Formoder du er kjent med Torricellis lov, den skal jeg i alle fall anvende. Den sier at om vi har et kar med et lite hull i bunnen fylt med væske, vil farta væska strømmer ut med være gitt ved [tex]v=\sqrt{2gy}[/tex] der y er vannstanden. La nå V(t) være volumet i karet ved tida t, a arealet av hullet i bunnen og A(y) flata inni karet om vi la et plan i høyde y.

Dermed har vi [tex]V(y)=\int_{0}^{y}A(y)dy \Rightarrow \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dy}\frac{dy}{dt}=A(y)\frac{dy}{dt}[/tex].

Dessuten følger det av Torricelli at [tex]\frac{dV}{dt}=-av=-a\sqrt{2gy}[/tex], så [tex]A(y)\frac{dy}{dt}=-a\sqrt{2gy}[/tex].

Så til det konkrete eksempelet. Jeg velger å droppe å regne med benevninger, det bør være opplagt hva det skal være. Her har vi [tex]A(y)\equiv4*4=16, y(0)=5, y(20)=4[/tex]. Ved først å løse [tex]16\frac{dy}{dt}=-a\sqrt{2gy}[/tex] får vi
[tex]16*2\sqrt{y}=-a\sqrt{2g}t+C[/tex] som innsatt [tex]y(0)=5[/tex] gir [tex]C=32\sqrt{5}[/tex] og dermed
[tex]y(t)=(\sqrt{5}-\frac{a\sqrt{2g}t}{32})^2[/tex]. Nå er [tex]y(20)=\sqrt{5}-\frac{20a\sqrt{2g}}{32})^2=4[/tex], så [tex]a=\frac{8}{5\sqrt{2g}}(\sqrt{5}-2)[/tex] og
[tex]y(t)=(\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}-2}{20}t)^2[/tex].

Til slutt løser vi [tex]y(t)=0[/tex] og får [tex]t=\frac{20(5+2\sqrt{5})}{21}[/tex].

Men dette gikk litt fort, så jeg foreslår å regne oppgava sjøl på nytt og luke ut feila. Utledninga fram til vi begynner med talla bør imidlertid stemme.

mrcreosote wrote:Formoder du er kjent med Torricellis lov, den skal jeg i alle fall anvende. Den sier at om vi har et kar med et lite hull i bunnen fylt med væske, vil farta væska strømmer ut med være gitt ved [tex]v=\sqrt{2gy}[/tex] der y er vannstanden. La nå V(t) være volumet i karet ved tida t, a arealet av hullet i bunnen og A(y) flata inni karet om vi la et plan i høyde y.
Dermed har vi [tex]V(y)=\int_{0}^{y}A(y)dy \Rightarrow \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dy}\frac{dy}{dt}=A(y)\frac{dy}{dt}[/tex].
Dessuten følger det av Torricelli at [tex]\frac{dV}{dt}=-av=-a\sqrt{2gy}[/tex], så [tex]A(y)\frac{dy}{dt}=-a\sqrt{2gy}[/tex].
Så til det konkrete eksempelet. Jeg velger å droppe å regne med benevninger, det bør være opplagt hva det skal være. Her har vi [tex]A(y)\equiv4*4=16, y(0)=5, y(20)=4[/tex]. Ved først å løse [tex]16\frac{dy}{dt}=-a\sqrt{2gy}[/tex] får vi
[tex]16*2\sqrt{y}=-a\sqrt{2g}t+C[/tex] som innsatt [tex]y(0)=5[/tex] gir [tex]C=32\sqrt{5}[/tex] og dermed
[tex]y(t)=(\sqrt{5}-\frac{a\sqrt{2g}t}{32})^2[/tex]. Nå er [tex]y(20)=\sqrt{5}-\frac{20a\sqrt{2g}}{32})^2=4[/tex], så [tex]a=\frac{8}{5\sqrt{2g}}(\sqrt{5}-2)[/tex] og
[tex]y(t)=(\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}-2}{20}t)^2[/tex].
Til slutt løser vi [tex]y(t)=0[/tex] og får [tex]t=\frac{20(5+2\sqrt{5})}{21}[/tex].
Men dette gikk litt fort, så jeg foreslår å regne oppgava sjøl på nytt og luke ut feila. Utledninga fram til vi begynner med talla bør imidlertid stemme.

-----------------------------------------------------------------------------


Godt å se en løsning på denne oppgava, pent arbeide.
Må innrømme at den har plaga meg...

Ser av løsningen innledningsvis at der krever litt fysikk kunnskaper.
Jeg har lært Torricellis lov en gang i tiden (men den har gått i glemmeboken-dessverre). Observerer forøvrig at den:

[tex]v=sqrt {2gy}\;[/tex] er analog med [tex]\;v=sqrt {2gh},[/tex]
også velkjent formel fra fysikken.

Jeg hang med hele veien, men skulle hatt endel hint underveis for å nå målet.

Såvidt jeg kan se stemmer det hele. Stussa bare litt over t [symbol:tilnaermet] 9 (min) på slutten. Den skal vel helst være >> 20 (min), t >> 20 min.
Regna den til ca 189 (min), t [symbol:tilnaermet] 189 min.

Duh, burde vel reagert da svaret blei mindre enn 20 min. [tex](\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=1\neq21[/tex] så [tex]t=20(5+2\sqrt{5})[/tex] eller omtrent 189 min som dere praktikere liker å kalle det.

Den krever som du sier noe fysikk, men jeg ville tro eksempler som dette dukker opp i fleste innledende diff.likningskurs på universitetsnivå for å vise en praktisk anvendelse. Muligens snuser man på Torricelli i 2-3FY også? Kan ikke riktig huske.