matematikk.net

Integrere:

x/ x^2 + 2x + 2 dx

Delai wrote:Integrere:

x/ x^2 + 2x + 2 dx

-------------------------------------------------------------------------------
Skriver og tolker det slik:

[tex]I\;=\;[/tex][tex]\int {x\over (x+1)^2+1}[/tex][tex]dx[/tex]

setter u = x + 1 og
x = u - 1

som gir:

du = dx

Videre får vi.

[tex]I\;=\;[/tex][tex]\int {u-1 \over u^2+1}[/tex][tex]du[/tex]

som genererer 2 integraler:

[tex]I_1\;=\;[/tex][tex]\int {udu \over u^2+1}[/tex]

setter v = u[sup]2[/sup] + 1

der 0.5 dv = u du

slik at:

[tex]I_1\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}\int {dv \over v}\;=\;[/tex][tex]ln|v|[/tex]

[tex]I_2\;=\;[/tex][tex]-\int {du \over u^2+1}\;=\;[/tex][tex]arctan(u)[/tex]

vel, dette gir


[tex]I\;=\;[/tex][tex]I_1\;+\;I_2[/tex]


[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}ln|x^2+2x+2|[/tex][tex]\;-\;[/tex][tex]arctan(x+1)\;+\;C[/tex]