matematikk.net

Hei,

Har 3 spm vedrørende vektorregning:

1) Planet @ inneholder punktene B(4,0,0), C(4,4,0) og T(0,0,5) vis at n=[5,0,4] er normalvektor til planet?

TBxTC= [4,0-5]x[4,4,-5]= [0x(-5)-(-5)x4, (-5)x4-4(-5),4x4-0x4]= [20,0,16]= 4[5,0,4]

Gi meg en forklaring på denne operasjonen (kryss produkt?). Skal en alltid huske å faktorisere en vektor slik det er gjort i dette tilfelle?

2) Planet @ er gitt ved likning @: 5x+4z+d=0. Hvordan finner vi d? hvorfor punkt b og -5x4=-20, forstår ikke hvorfor det skal være -5.. vær så venlig og forklar denne operasjonen

3)Et plan går gjennom punktene a(4,4,4), B(1,2,5) og C(0,0,7). Vis at V=[-2,5,4] er normalvektoren til planet?

Jeg kom så langt: Først finner jeg vektoren AB og AC deretter tar jeg
n[a,b,c]xAB og n[a,b,c]xAC.. Når jeg da skal løse dette algebraisk får jeg et problem.

På forhånd takk:)

mvh
Alex

1)
Lag deg en vektor av de oppgitte punktene, og ta prikkproduktet mellom denne vektoren og vektoren n. Hvis dette produktet er lik null, så er de to vektorene ortogonale. Det er ingen vits i å bruke kryssprodukt her, da du bare skal vise at n er en normalvektor. Hadde du ikke fått oppgitt n så måtte du gjort det slik som du gjorde det. Lengden av n har ingen ting å si.

2)
Hvis det er det samme planet som i 1), så kan du bare putte inn koordinatene til en av de tre punktene B, C eller T, og så få verdien til d.

3)
Samme som 1)

Bernoulli wrote:1)
Lag deg en vektor av de oppgitte punktene, og ta prikk produktet mellom denne vektoren og vektoren n. Hvis dette produktet er lik null, så er de to vektorene ortogonale.

Det stemmer, men dette er ikke tilstrekkelig til å vise at vektoren n er en normalvektor til planet. Hvis du har tre punkter A, B og C (alle forskjellige) kan du f.eks. sjekke at (n prikk AB) og (n prikk BC) blir 0, det skulle være nok.

Hvis du bare sjekker at (n prikk AB) er 0, kan jo fortsatt n være BC (hvis BC og AB tilfeldigvis er ortogonale)

Ja, du har helt rett.

Hvis du har gitt tre punkter A, B og C:

1. Hvis du krysser vektorene AB og BC får du en vektor som er vinkelrett på planet punktene ligger i (en normalvektor). Hvis n er parallell med denne, er den normalvektor til planet, og det har du jo vist i utregningen. (det er ingen grunn til å bruke prikkprodukter)

2. Bare sett inn x, y og z-verdien fra ett av punktene, og se hva det ukjente tallet må være. Legg merke til at tallene i likningen for planet er de samme som tallene i normalvektoren (!)

Dvs. hvis et plan er gitt ved: ax + by + cz = 0
så er normalvektoren [a, b, c]

Det er vell litt smak og behag om en vil bruke kryssprodukt eller prikkprodukt. Jeg prøver så ofte som mulig å styre unna kryssprodukt, for dette krever som regel litt mer regning og det er større muligheter for "uhell" (regnefeil o.l.) Jeg husker iallefall når jeg hadde 3MX at kryssproduktet var litt mer kryptisk. Du måtte bare banke inn en algoritme for å regne ut en 3x3 determinant, uten videre forklaring.

Takk for et snarlig svar..


ALix

Enig der, når du bare skal sjekke om en vektor er normalvektoren, er det vel "enklere" å utføre to prikkprodukter enn ett kryssprodukt.
(selv om antall regneoperasjoner er omtrent det samme)