matematikk.net

Jobber med noen eldre eksamensoppgaver, og lurer på om jeg kan få hjelp til denne.

Bestem grenseverdien

[tex]lim\frac{e^x-4^x}{e^x-6^x}[/tex] , der lim går mot 0.

Og for hvilken verdi av konstanten k vil grenseverdi

[tex]lim\frac{cos x-k}{x^2}[/tex] , der lim går mot 0.

eksistere? Og hvorfor blir det slik som det blir? Må også bestemme grenseverdien for denne verdien av k.
(Har forresten akkurat begynt med LaTeX, så beklager at det blir litt rotete enda)

Triumph wrote:Jobber med noen eldre eksamensoppgaver, og lurer på om jeg kan få hjelp til denne.

Bestem grenseverdien
a)
[tex]lim\frac{e^x-4^x}{e^x-6^x}[/tex] , der lim går mot 0.

Og for hvilken verdi av konstanten k vil grenseverdi
b)
[tex]lim\frac{cos x-k}{x^2}[/tex] , der lim går mot 0.
eksistere? Og hvorfor blir det slik som det blir? Må også bestemme grenseverdien for denne verdien av k.
(Har forresten akkurat begynt med LaTeX, så beklager at det blir litt rotete enda)

a)

Setter du inn for x-->o ser du at: [tex]{1-1}\over {1-1}[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]0\over 0[/tex]

uttrykk. Som åpner for L'Hopitals regel, hvor teller og nevner deriveres hver for seg:

lim([tex]{e^x\;-\;ln(4)4^x}\over e^x\;-\;ln(6)6^x[/tex])
x->0

=([tex]\;{1\;-\;ln(4)}\over {1\;-\;ln(6)}[/tex])



b)

cos(0) - k = 0
1 - k = 0
k = 1

lim([tex]cos(x)\;-\;1\over x^2[/tex])
x->0

Setter så inn for x-->o igjen og ser at: [tex]{1-1}\over {0}[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]0\over 0[/tex]

uttrykk. Som åpner for L'Hopitals regel, hvor teller og nevner deriveres hver for seg:

lim([tex]-sin(x)\over 2x[/tex])[tex]\;=\;{0\over 0}[/tex]
x->0

L'Hopitals regel igjen:

lim([tex]-cos(x)\over 2[/tex])[tex]\;=\;{-1\over 2}[/tex]
x->0

Takk for svar. Da hadde jeg det noenlunde riktig.
Men jeg lurer på om det finnes andre metoder å bruke enn L'Hopitals regel når det gjelder å finne grenseverdien? Jeg har bare såvidt begynt å se på L'Hopitals regel, og mener derfor det må finnes andre regler for dette. Stemmer det?

Bare noen tips:

[tex]\lim_{x \rightarrow 0}[/tex] \lim_{x \rightarrow 0}

[tex]\lim_{q \rightarrow -5}[/tex] \lim_{q \rightarrow -5}

[tex]\lim_{y \rightarrow 3^+}[/tex] \lim_{y \rightarrow 3^+}

[tex]\lim_{y \rightarrow 9^-}[/tex] \lim_{y \rightarrow 9^-}

Hvis du lager typogravisk avanserte limit-er, og skal ha et ditto avansert uttrykk etterpå, kan du skrive "\ " etter limit-en, dette vil tvinge inn et mellomrom. Det kan du også gjøre flere ganger: "\ \ \ ". Slik at du i stedet for:

[tex]\lim_{y \rightarrow 9^-} \frac{x^2 - 4}{\cos^3 x}[/tex] \lim_{y \rightarrow 9^-} \frac{x^2 - 4}{\cos^3 x}

får:

[tex]\lim_{y \rightarrow 9^-}\ \ \frac{x^2 - 4}{\cos^3 x}[/tex] \lim_{y \rightarrow 9^-}\ \ \frac{x^2 - 4}{\cos^3 x}