matematikk.net

Kan noen hjelpe meg med å finne den generelle løsningen av likningen 11x +23y = 123 ?

takknemlig for svar før tirsdag ettersom jeg skal ha prøve da

Siden likningen din er lineær både i x og y, kan vi undersøke om løsningen kan skrives som en rett linje:

11x + 23y = 123
23y = 123 - 11x
y = 123/23 - 11x/23

hvilket tilsvarer linjen
y = (-11/23) x + 123/23

Hei! endelig litt tallteori her

11x + 23y = 123

Bruker Euklids alogritme for GCD. (greatest common divisor).

23 = 11*2 + 1 .. Dette ble ikke mye arbeid. Går tilbake igjen:
1 = 23*1-11*2
Multipliserer begge sider med 123.
123 = 23*123 - 11*246

Vi ser altså at x = -246 og y = 123 er en løsning her. Vi finner så alle de andre løsningene:

[tex]x=x_0 + \frac {b}{d}*t = -246 + 23t[/tex]
[tex]y=y_0 - \frac {a}{d}*t = 123 - 11t[/tex]

der [tex]t\in\mathbb Z[/tex]

edit: Kan gjøre som mari-anne også. Men jeg antok at du skulle bruke løsningsmetoden beskrevet i boka om tallteori.

tusen takk for raskt svar

jeg har lært mari-anne sin teknikk, men fikk ikke noe klart svar ut fra det..

jeg forstår alt det du gjør, magnus, bortsett fra en ting. hvordan visste du at du skulle multiplisere begge sidene av uttrykket: 1 = 23*1-11*2 med 123?
problemet mitt startet akkurat der, for jeg visste ikke hva jeg skulle gjøre når største felles divisor ble 1..
en annen ting er at fasiten i boka mi sier at y = 123 - 11n, ikke pluss 11

jeg har på følelsen at du liker tallteori ergo "endelig litt tallteori"..
så da lurer jeg på om du kanskje kan hjelpe meg med tre ting til:

1. forklar, uten å regne(!), hvorfor den diofantiske likningen 12x - 15y = 34 ikke har heltallige løsninger. er det fordi 34 delt på sfd(15,12) ikke gir noe heltallig løsning?

2. vi har to hele tall a og b, der 2<a<b. dessuten er sfd(a,b) = 2 og mfm(a,b) = 70. finn tallene a og b.

3. en oppgave jeg trodde jeg skulle klare etter hjelp fra deg, men den gang ei: 1096x + 808 = 3y

hei og hopp!

isabel wrote:tusen takk for raskt svar

jeg har lært mari-anne sin teknikk, men fikk ikke noe klart svar ut fra det..

jeg forstår alt det du gjør, magnus, bortsett fra en ting. hvordan visste du at du skulle multiplisere begge sidene av uttrykket: 1 = 23*1-11*2 med 123?
problemet mitt startet akkurat der, for jeg visste ikke hva jeg skulle gjøre når største felles divisor ble 1..
en annen ting er at fasiten i boka mi sier at y = 123 - 11n, ikke pluss 11

Hei igjen!
1) Ta en titt på den likningen jeg fikk. Der får jeg et utrykk med 1 på på siden som ikke inneholder variabler. Utgangslikningen derimot har vi den akkurat samme likningen bare med 123 i steden. Derfor multipliserer vi med 123.
Ja du har korrekt. Var en skriveleif der:
[tex]y=y_0 - \frac {a}{d}*t[/tex] (kan godt være + der også, men da må x være -).

jeg har på følelsen at du liker tallteori ergo "endelig litt tallteori"..
så da lurer jeg på om du kanskje kan hjelpe meg med tre ting til:

Jepp. Det eier:)

1. forklar, uten å regne(!), hvorfor den diofantiske likningen 12x - 15y = 34 ikke har heltallige løsninger. er det fordi 34 delt på sfd(15,12) ikke gir noe heltallig løsning?

Ja. Fordi 34 inneholder jo ikke de felles faktorene, og x,y kan dermed ikke være heltall.

2. vi har to hele tall a og b, der 2<a<b. dessuten er sfd(a,b) = 2 og mfm(a,b) = 70. finn tallene a og b.

Her må du kjenne regelen:

[tex]a\cdot b = lcm(a,b)\cdot gcd(a,b)[/tex]

[tex]a\cdot b = 2\cdot 70 = 140[/tex]

Ettersom a,b > 2. Må fi finne faktorene til 140 her:

[tex]140 = 70\cdot 2 = 35\cdot 4 = 7\cdot 5\cdot 4 = 7\cdot 5\cdot 2\cdot 2 [/tex]
Ettersom faktoren 2 må inngå i begge(jamfør gcd(a,b) = 2). Så får vi tallene 14 og 10.

3. en oppgave jeg trodde jeg skulle klare etter hjelp fra deg, men den gang ei: 1096x + 808 = 3y

[tex]1096x - 3y = -808[/tex]

[tex]1096 = 3*365 + 1[/tex]

gcd er altså 1.

[tex]1096 - 3*365 = 1[/tex]

Multipliserer begge sider med -808.

[tex]-808*1096 + 294920*3 = -808[/tex]

Dette gir altså:

[tex]x_0 = -808[/tex]
[tex]y_0 = -294920[/tex]

De andre løsningene klarer du å finne.

takk og bukk

det er en oppgavetekst til oppgave 3. når man har funnet ut at:
x = -808 - 3*n
y = -294 920 + 1096*n

så står det:
det er gitt at sola gjør 30 omdreininger rundt jorda på 10960 dager. hvor mange hele dager har det gått (fra sola var i et gitt startpunkt) når sola har foretatt et helt antall omdreininger pluss 8080/10960 av en omdreining? videre står det at vi lar y være antall dager og x antallet hele omdreininger. når 30 omdreininger tar 10960, vil en omdreining ta 10960/30 dager. derfor må y = (x + 8080/10960) * 10960/30

Kan du hjelpe meg å bevise at x skal bli X = 2 og y = 1000 ? forstår at vi bare må finne n, for så å putte inn i de to øverste likningene.. men jeg bare klarer ikke å se hva n er ut ifra oppgaveteksten.

en annen oppgave som også går til granskogen er 8x + 75y = 1200. gjør som du viser meg, men får ikke likt svar som fasiten. fasiten sier at:
x = 11 400 - 75n
y = -1200 + 8n

isabel wrote:takk og bukk

det er en oppgavetekst til oppgave 3. når man har funnet ut at:
x = -808 - 3*n
y = -294 920 + 1096*n

så står det:
det er gitt at sola gjør 30 omdreininger rundt jorda på 10960 dager. hvor mange hele dager har det gått (fra sola var i et gitt startpunkt) når sola har foretatt et helt antall omdreininger pluss 8080/10960 av en omdreining? videre står det at vi lar y være antall dager og x antallet hele omdreininger. når 30 omdreininger tar 10960, vil en omdreining ta 10960/30 dager. derfor må y = (x + 8080/10960) * 10960/30

Kan du hjelpe meg å bevise at x skal bli X = 2 og y = 1000 ? forstår at vi bare må finne n, for så å putte inn i de to øverste likningene.. men jeg bare klarer ikke å se hva n er ut ifra oppgaveteksten.

en annen oppgave som også går til granskogen er 8x + 75y = 1200. gjør som du viser meg, men får ikke likt svar som fasiten. fasiten sier at:
x = 11 400 - 75n
y = -1200 + 8n

Hei! Her har du gjort riktig øverst der du sier at x= -808-3*n, men y skal være y= -294920-1069n .Du har altså ett feil fortegn i uttrykket for y. Siden oppgaven ikke oppgir annet, er det den generelle løsningen de spør etter her. Du kan da for eksempel svare slik: La x antall omdreininger være gitt ved x=-808-3n, der n er et helt tall. Da er antall dager y som har passert gitt ved y=-294920-1069n, der n er et helt tall. Ettersom x er større enn null dersom n er mindre eller lik -270, har vi at: -Dersom n er et heltall mindre eller lik -270 er det snakk om hele antall omdreininger x som har skjedd, og hele antall dager y som har passert. Dersom n er et heltall større eller lik -269 er det snakk om (-x) hele antall omdreininger som kommer til å skje, og (-y) antall hele dager det kommer til å ta.

En kommentar:
Du har funnet en generell løsning x=-808-3n og y=-294920-1069n, men denne løsning er ganske tungvint fordi den inneholder relativt store tall. Du kan derfor generere en ny løsning ved å sette inn en n- verdi, for eksempel n=-269
slik at du får to nye tall x_0 og y_0 du kan bruke i utrykkene for x og y.
Siden x(-269)= -1 og y(-269)=-96 er et enklere utrykk for x og y:
x= -1-3n og y= -96-1096n, der n er et heltall.

Hvis du lurer på hvorfor jeg brukte akkurat n= -269, så er det fordi funksjonen
f(n) =x(n)*y(n) er nermest mulig null når n=-269, enkelt sagt