matematikk.net

Finn den generelle løsningen på likningen : sin4x - sin5x = 0.5

Oppgaven: sin4x - sin5x = 0.5 kan lett vises at er ekvivalent med å løse et polynom av grad ti (f.eks ved å skrive de trigonometriske funksjonene på kompleks form). Dette polynomet har 8 rasjonale og 2 komplekse røtter i intervallet [0, 2[pi][/pi]> (og som gjentar seg periodisk). Jeg har i hvertfall ikke klart å løse det analytisk, så her må jeg melde pass....

Oppgaven i overskriften: sin4x - sin5x = 0 er derimot enkel å løse.
Man ser lett at det finnes løsninger for alle x = [pi][/pi]n der n er et helt tall. Ved å skrive
sin4x - sin5x = -2sin(x/2)cos(9x/2) (følger av formel for addisjon av sinus)
får vi at denne har løsninger når cos(9x/2)=0
altså 9x/2 = [pi][/pi]/2 + n[pi][/pi] (der n er et helt tall)

det gir x = ([pi][/pi]/9)(2n+1)

alle løsninger i f.eks intervallet [0,[pi][/pi]] er da:

0, [pi][/pi]/9, [pi][/pi]/3, 5[pi][/pi]/9, 7[pi][/pi]/9, [pi][/pi]

her ser du grafen og de seks løsningene av sin4x - sin5x = 0 i [0, [pi][/pi]]

Denne ekvivalensen greide jeg ikke å regne ut :

sin4x - sin5x = -2sin(x/2)cos(9x/2)

jeg vet ikke hvilke formler du er kjent med, men se denne linken:

http://www.engineering.usu.edu/mae/facu ... o/Trig.htm

jeg brukte denne: (står under Sum and Difference Relations)

sin u - sin v = 2 cos((u+v)/2)sin((u-v)/2) med u=4x og v=5x

Hva vil det si å skrive utrykket på kompleks form?
Man kan iallefall skrive om alle utrykk til taylorpolynom, men det er liten vits i dette tilfellet.

midd wrote:Hva vil det si å skrive utrykket på kompleks form?

Når du lærer om komplekse tall vil du blant annet lære at
e[sup]ix[/sup] = cos(x) + i*sin(x)
(dette er pr. definisjon)

Hvorfor dette er en fornuftig definisjon kan du faktisk se ved å sette inn (ix) i taylor-rekka til ekspoensialfunksjonen, og erstatte i[sup]2[/sup] med -1, da får du nettopp rekka til cosinus pluss i*(rekka til sinus).

Man får nå et alternativt uttrykk for sinus:
sin(x) = (e[sup]ix[/sup] - e[sup]-ix[/sup])/2

Hvis du setter inn dette i likningen, får du et tiendegradspolynom med hensyn på e[sup]ix[/sup], dvs. du får faktorer av typen e[sup]ix*10[/sup] osv. når du forenkler uttrykket. Dersom du kunne løse tiendegradsligningen, ville du finne e[sup]ix[/sup], og dermed x.

Men tiendegradsligninger er vel generelt ikke mulig å løse analytisk uten videre, og det viser vel også at problemet vårt ikke har noen analytisk løsning.

Finnes det flere anvendelser av komplekse tall?

midd wrote:Finnes det flere anvendelser av komplekse tall?

Dette blir kanskje ikke en annen anveldelse... men en anvendelse av det som allerede er skrevet. Det handler om analyse av elektriske kretser der vi regner med vekselspenning(og strøm) (AC).

Hvis du har en sinusformet vekselspenning (eller strøm) er det ofte praktisk å regne med komplekse strømmer og spenninger. Da bruker man formler som ThomasB skrev over her. Den komplekse spenningen viser spenningens fase og amplitude.

Når man regner med komplekse strømmer og spenninger slipper man unna endel stygge differensialligninger, som gjør regningen endel lettere. Man mister da informasjon om hvordan spenningen varierer akkurat i det man skrur på bryteren, men ofte er man ikke ikke interessert i denne, kun hvordan det vil være etter at systemet har stabilisert seg.