matematikk.net

Noen som kan hjelpe meg litt med denne oppgaven? Sliter litt!

1. S= [symbol:pi] r[sup]2[/sup] og V= 3/4 [symbol:pi] r[sup]3[/sup] er overflaten og volumet av en kule med radius r. Plott punktene (logS, logV) i x,y-planet for noen verdier av r, for eksempel r=5, 9, 13 og 20.
Hva legger du merke til, og hva er forklaringen på det du ser?

2. Tenk deg n figurer i planet med forskjellig størrelse, men med samme form. La O[sub]1[/sub],.........,O[sub]n[/sub] og A[sub]1[/sub],........,A[sub]n[/sub] være henholdsvis omkrets og areal av figurene. Forklar hvorfor alle parene (logO[sub]i[/sub], log A[sub]i[/sub]) ligger på samme linje. Hva er stigningstallet til linja. Hvilken informasjon ligger i det punktet hvor linja skjærer y-aksen?

a)
Det oppgaven ber deg plotte er

(x,y) = (log S, log V) = (log [[symbol:pi]r[sup]2[/sup]], log [0,75* [symbol:pi]r[sup]3[/sup]])

Dette gir en rett linje med stigningstall 2/3:

a= [symbol:diff]y/ [symbol:diff]x
= (log V[sub]2[/sub] - log V[sub]1[/sub]) / (log S[sub]2[/sub] - log S[sub]1[/sub])

Før vi går videre med utregningen:
log V = log([symbol:pi]r[sup]2[/sup])
log V[sub]2[/sub] - log V[sub]1[/sub]
= log ([symbol:pi]r[sub]2[/sub][sup]2[/sup] / [symbol:pi]r[sub]1[/sub][sup]2[/sup])
= log [(r[sub]2[/sub]/r[sub]1[/sub])[sup]2[/sup]]
= 2 log (r[sub]2[/sub]/r[sub]1[/sub])

log S = log (0,75[symbol:pi]r[sup]3[/sup])
log S[sub]2[/sub] - log S[sub]1[/sub]
= log [(0,75[symbol:pi]r[sub]2[/sub][sup]3[/sup] / (0,75[symbol:pi]r[sub]1[/sub][sup]3[/sup])]
= log [r[sub]2[/sub][sup]3[/sup]/r[sub]1[/sub][sup]3[/sup]]
= 3 log (r[sub]2[/sub]/r[sub]1[/sub])

a = 2 log (r[sub]2[/sub]/r[sub]1[/sub]) / 3 log (r[sub]2[/sub]/r[sub]1[/sub]) = 2/3

-----
b)

Forholdet mellom A[sub]i+1[/sub] og A[sub]i[/sub] er det samme for alle siden figurene er formlike.
A[sub]i+1[/sub] / A[sub]i[/sub] = m

Tilsvarende for O[sub]i+1[/sub] og O[sub]i[/sub].
O[sub]i+1[/sub] / O[sub]i[/sub] = n

a = [log A[sub]i+1[/sub] - log A[sub]i[/sub]] / [log O[sub]i+1[/sub] - log O[sub]i[/sub]]
= [log [A[sub]i+1[/sub]/A[sub]i[/sub]] / [log [O[sub]i+1[/sub]/O[sub]i[/sub]]
= log m / log n
= konstant
Dermed må linja være en rett linje.

Linja skjærer y-aksen i punktet (0,k)
likningen for en rett linje er y=ax + b
x = 0 gir y = b
Hvis vi vet hvor linja skjærer i y-aksen, kjenner vi b.