matematikk.net

Vi ønsker å studere konsentrasjonen av medisin i blodet på en pasient som er blitt gitt en dose av en bestemt type medisin. Vi antar at konsentrasjonen C(t), t timer etter at medisinen er gitt
er bestemt ved funksjonen:

[tex]C(t) = 10(e^{-t} \; - \; e^{-2t}), \;t \; \geq \;0[/tex]

Konsentrasjonen måles her i mengde per volumenhet gitt i passende måleenheter.

a) Regn ut konsentrasjonen av medisin i blodet etter 1 og etter 2 timer.
Finn hvor lang tid det tar før konsentrasjonen når sin største verdi og bestem denne største konsentrasjonen.

b) Totalvirkningen av medisinen etter T timer, målt i ”konsentrasjonstimer”, er gitt ved arealet under konsentrasjonskurven i intervallet fra 0 til T. Hvor stor er
totalvirkningen av medisinen etter 4 timer ?

Håper på svar...

JanneK wrote:Vi ønsker å studere konsentrasjonen av medisin i blodet på en pasient som er blitt gitt en dose av en bestemt type medisin. Vi antar at konsentrasjonen C(t), t timer etter at medisinen er gitt
er bestemt ved funksjonen:

[tex]C(t) = 10(e^{-t} \; - \; e^{-2t}), \;t \; \geq \;0[/tex]

Konsentrasjonen måles her i mengde per volumenhet gitt i passende måleenheter.

a) Regn ut konsentrasjonen av medisin i blodet etter 1 og etter 2 timer.
Finn hvor lang tid det tar før konsentrasjonen når sin største verdi og bestem denne største konsentrasjonen.

b) Totalvirkningen av medisinen etter T timer, målt i ”konsentrasjonstimer”, er gitt ved arealet under konsentrasjonskurven i intervallet fra 0 til T. Hvor stor er
totalvirkningen av medisinen etter 4 timer ?

Håper på svar...

a)

[tex]C(1) =[/tex][tex] 10(e^{-1}\;- \;e^{-2})\;\approx \;2.33[/tex]

[tex]C(2) =[/tex][tex] 10(e^{-2}\;- \;e^{-4})\;\approx \;1.17[/tex]


[tex]C ` (t) = [/tex][tex] -e^{-t}+2e^{-2t}= 0[/tex]

[tex]e^{-t} = {1\over 2}[/tex]

[tex] t_{Max}\;= ln(2) \;(timer)[/tex]


[tex]C(ln2) =[/tex] [tex]10(e^{-ln2}-e^{-2ln2})[/tex]


[tex]C(ln2) = 2.5[/tex]




b)

[tex]I=\int _{0}^{4}C(t) dt[/tex][tex]=10\int _{0}^{4}(e^{-t}-e^{-2t})dt[/tex]

[tex]I=10[-e^{-t}+0.5e^{-2t}]_{0}^{4}[/tex]

[tex]I=10(0.5e^{-8}-e^{-4}+0.5)[/tex]


Totalvirkningen av medisinen:

[tex]I \approx 4.82[/tex]

Hvis jeg skal tegne grafen til C(t) ved å gjøre bruk av C’(t) og C’’(t),
hvordan går jeg frem da?

Ved å sette C(t) på et fortegnsskjema, finner du ut hvor grafen er under og over x-aksen.

Videre setter du C'(t) på et fortegnsskjema for å finne topp og bunnpunkt (der f'(t) = 0)

Til sist setter du C''(t) på et fortegnsskjema, og leser hvor grafen stiger/synker mest (der C''(t) = 0)

Når du vet alt dette, er du istand til å tegne en ganske bra skisse av grafen.

Kan jo løses grafisk på kalkulatoren for å få et intrykk av hvordan det blir.






b)

Total virkning skravert område fra 0 til 4 timer