matematikk.net

Avgjør om rekken konvergerer eller divergerer.

[tex]\sum_{n=1}^\infty \ \frac{lnn}{n sqrt{n}[/tex]

Jeg tror den konvergerer veldig sakte, men sliter med
å vise dette.Kan noen hjelpe?

Nå er

[tex](1) \;\; \ln \, x \:<\: x[/tex]

for [tex]x \,>\, 0[/tex]. Ved å sette [tex]x = n^{1/4}[/tex] i (1), blir resultatet

[tex]\ln \, n \:<\: 4n^{1/4}.[/tex]

Altså er

[tex]\frac{\ln \, n}{n^{3/2}} \;<\; 4 \frac{n^{1/4}}{n^{3/2}} \;=\; 4n^{-5/4}\;,[/tex]

som igjen medfører at

[tex]0 \;\;<\;\; \sum_{n=1}^{\infty} \, \frac{\ln \, n}{n^{3/2}} \;\;<\;\; 4 \sum_{n=1}^{\infty} \, n^{-5/4} \;\; < \;\; \infty.[/tex]

M.a.o. konvergerer rekken [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \, \frac{\ln \, n}{n^{3/2}}\:.[/tex]

Takk, det var en fin løsning.