matematikk.net

Hei, kan noen fortelle meg hva jeg skal gjøre, kanskje med et eksempel, i denne oppgaven:

Bruk det du kan om n-te røtter til å finne komplekse og reelle faktoriseringer av polynomet:
[tex]z^3 + 8[/tex]

Svaret er tydligvis:
[tex]\left(z + 2\right) \left(z - 1 - i \sqrt{3}\right) \left(z - 1 + i \sqrt{3}\right) = \left( z + 2\right) \left( z^2 - 2z + 4 \right)[/tex]

Av De Moivres formel følger at likningen z[sup]n[/sup] = r har n løsninger z[sub]0[/sub], ... , z[sub]n-1[/sub] gitt ved formelen

[tex]z_k \;=\; \sqrt[k]{r} \, e^{2\pi k{\bf i}/n}[/tex].

Altså har likningen z^3 = -8 løsningene

[tex]z_k \;=\; \sqrt[3]{-8} \, e^{2\pi k{\bf i}/3} \;=\; -2e^{2\pi k{\bf i}/3}[/tex],

som gir

[tex]z_0 \;=\; e^0 \;=\; -2,[/tex]

[tex]z_1 \;=\; -2e^{2\pi {\bf i}/3} \;=\; 1 \:-\: {\bf i}\sqrt{3},[/tex]

[tex]z_2 \;=\; -2e^{4\pi {\bf i}/3} \;=\; 1 \:+\: {\bf i}\sqrt{3} \;=\; \overline{z_1}[/tex],

Herav følger at

[tex]z^3 \:+\: 8[/tex]

[tex]=\; (z \:-\: z_0)(z \:-\: z_1)(z \:-\: \overline{z_1})[/tex]

[tex]=\; (z \:+\: 2)(z \:-\: 1 \:+\: {\bf i}\sqrt{3})(z \:-\: 1 \:-\: {\bf i}\sqrt{3})[/tex] (kompleks faktorisering)

[tex]=\; (z \:-\: z_0)[z^2 \:-\: (z_1 \:+\: \overline{z_1})z \:+\: z_1 \cdot \overline{z_1}][/tex]

[tex]=\; (z \:+\:2)(z^2 \:-\: 2z \:+\: 4)[/tex] (reell faktorisering).