matematikk.net

Kan noen hjlpe med denne oppgaven?

Vis at for alle naturlige tall "n" er


1+i/ [symbol:rot] 2 + 1/ [symbol:rot] 3 + ......+ 1/ [symbol:rot]n >

2( [symbol:rot] (n+1)-1).

En enkel arealbetraktning gir

[tex] \int_k^{k+1} \frac{dx}{\sqrt{x}} \; < \; \frac{1}{\sqrt{k}}[/tex]

for alle k>0. Dermed blir

[tex]\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \;\; > \; \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{dx}{\sqrt{x}} \;\; = \; \int_1^{n+1} \frac{dx}{\sqrt{x}} \; = \; [2\sqrt{x}]_1^{n+1} \;=\; 2(\sqrt{n+1} \:-\: 1).[/tex]