matematikk.net

Hei

Jeg har en kurve i rommet gitt ved

r[sub]2[/sub](t)= [t*cos(5 ln t), t*sin(5 ln t), t], t>0

v[sub]2[/sub](t)=r[sub]2[/sub]'(t)

Så skal jeg regne ut vinkelen mellom v[sub]2[/sub](t) og z-aksen. Hvordan gjør jeg det?
Og hva betyr det at denne vinkelen alltid er like stor, geometrisk sett?

takker for hjelp 8)

Fra formelen for prikkproduktet mellom to vektorer har du:

a * b = |a|*|b|*cos(u)

her er a og b vektorer. |a| og |b| er lengden av henholdsvis a og b. og u er vinkelen mellom dem.

vi lar a være en vektor som peker langs z-aksen: [0,0,1].
og b er lik v[sub]2[/sub](t), altså den deriverte av r[sub]2[/sub](t) som etter litt regning blir:
[cos(5*ln(t))-5*sin(5*ln(t)), sin(5*ln(t))+5*cos(5*ln(t)), 1].

prikkproduktet mellom a og b blir da: 0*noe + 0*noe annet + 1*1 = 1.
Lengden av a er opplagt 1, mens lengden av b må regnes ut. Når du regner vil du oppdage at du et par ganger må bruke identiteten sin[sup]2[/sup](noe) + cos[sup]2[/sup](noe) = 1. Dette gjør til slutt at lengden til b er uavhengig av t.

Sett alt dette inn i formelen for prikkproduktet og du vil se at du får (hvis jeg har regnet riktig):

1 = 1*[rot][/rot](27) * cos(u)

Dermed er cos(u) og også vinkelen u konstant (uavhengig av t).
Hvis du skal ha ut u i grader, finner jeg det til å bli 78,9 grader.

Geometrisk tolkning: Siden v[sub]2[/sub](t) er den deriverte av den opprinnelige kurven er den en vektor som beskriver stigningen til kurven. Siden denne vektoren hele tiden har samme lengde og vinkel med z-aksen, betyr det at stigningen i z-retning (eller oppover) er like stor hele tiden.

bilde av kurven r[sub]2[/sub](t) for 0<t<10: