matematikk.net

En båt legger fra land og nærmer seg et sirkulært område D: x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] _< 4, hvor havbunnstopografien kan beskrives ved funksjonen
[tex] f(x,y) = 5e*xy*e^{-\frac{1}{2}(x^2 + y^2)}[/tex]

Det oppgis at over funksjonens bunnpunkt på D er vannhøyden 14meter.
Båtens kjøl stikker 2,5m ned i vannet.
Kan båten kjøre over hele området D uten å skrape mot bunnen?

Får ikke til denne.

Ved å innføre polar koordinater (x = r*cost og y = *sint), blir resultatet

(1) f(x,y) = 5exye[sup]-(x^2 + y^2)/2[/sup] = 5e*r[sup]2[/sup]*cost*sint*e[sup]-r^2/2[/sup] = (5e/2)*sin(2t)*r[sup]2[/sup]*e[sup]-r^2/2[/sup].

som er definert i området D:r ≤ 2. Ved å derivere funksjonen r[sup]2[/sup]*e[sup]-r^2/2[/sup] = g(r) og drøfte g'(r) i et fortegnsskjema, finner vi at

g(r)[sub]max[/sub] = g([symbol:rot]2) = 2/e

Dette i kombinasjon med (1) gir

(2) |f(x,y)|[sub]max[/sub] = (5e/2)*(2/e)*|sin(2t)|[sub]max[/sub] = 5*1 = 5.

Det er opplyst at maksimal vannhøyde i området D er 14 meter. Dermed blir minimal vannhøyde i D lik 14 - 2*5 = 14 - 10 = 4 meter ifølge (2). Altså kan båten som har en kjøl som stikker 2,5 meter ned i vannet, kjøre over hele området D uten å skrape opp bunnen på båten.

Kan den også løses vha. Lagrange? Med L(x,y,l) = f(x,y) + l*D?
Vet ikke helt hvordan jeg skulle uttrykt D men..

Den kan løses ved Lagrange ved å la

L(x,y,λ) = f(x,y) + λ*(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]).