matematikk.net

Noen som kan hjelpe meg med denne oppgaven?

jeg har en talloppstilling som fortsetter i det uendelige både vannrett og loddrett. Den er som følger:

1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 ...

1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 ...

1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 ...

1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 ...

1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 ...

1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 ...

...

tegn en strek som i prinsippet kan fortsettes slik at den går gjennom alle tallene i oppstillingen.

Forklar så hvorfor dette er en begrunnelse for at det er like mangebrøker som naturlige tall.

En måte å gjøre dette på er følgende:

1/1 -> 1/2 -> 2/1 -> 3/1 -> 2/2 -> 1/3 -> 1/4 -> 2/3 -> 3/2 -> 4/1 -> 5/1 -> 4/2 -> 3/3 -> 2/4 -> 1/5 -> 1/6 -> 2/5 osv.

Dersom du tegner inn disse pilene inn i det kvadratiske skjemaet du har, ser du at du beveger deg på skrå opp og ned langs diagonalene. I hver diagonal er summen av teller og nevner den samme og denne summen øker med 1 når du beveger deg til neste diagonal.

Denne (telle)metoden viser at mengden av positive rasjonale tall (Q[sup]+[/sup]) er tellbar. Følgelig er det like mange positive brøker som naturlige tall. (Rent matematisk betyr dette at det finnes en bijeksjon f:Q[sup]+[/sup]->N.)