matematikk.net

Jeg tror denne faktisk hører hjemme i dette forumet:

Gitt følgende figur:

En kasse på 1 x 1 meter er satt inntil en vegg, en stige på 10 meter er satt opp mot veggen slik at den tangerer kanten på kassen slik figuren viser. Hvor langt opp på veggen kommer stigen?
(ja, det er 90 grader mellom bakke og vegg)

En tilsynelatende enkel oppgave... eller??? :-/

Ja, den ble løst her på forumet første gang høsten 2002, men jeg gir ikke tråden til løsning da noen kunne falle for fristelsen å kikke....
God Påske!
MVH
KM

johnrt wrote:Jeg tror denne faktisk hører hjemme i dette forumet:

Gitt følgende figur:

Jeg prøver.

Her har vi jo to formlike trekanter. Den største trekanten, som jo er lett å se, har minste katet lik [tex]\sqrt(100-x^2)[/tex].

Den minste trekanten, som ligger fra toppen av kassen og oppover, har minste katet lik 1, største katet lik x-1 og dermed hypotenus lik [tex]\sqrt(x^2-2x+2)[/tex].

Ved formlikhet kan vi nå sette opp følgende forhold:

[tex]\frac{x-1}{x}=\frac{1}{\sqrt(100-x^2)}=\frac{\sqrt(x^2-2x+2)}{10}[/tex]

Vi kan benytte oss av den første likheten:

[tex]\frac{x-1}{x}=\frac{1}{\sqrt(100-x^2)}[/tex]

[tex]\sqrt(100-x^2)\frac{x-1}{x}=1[/tex]

[tex]\sqrt((100-x^2)\frac{(x-1)^2}{x^2})=1[/tex]

[tex](100-x^2)\frac{(x-1)^2}{x^2}=1[/tex]

[tex](100-x^2)\frac{(x^2-2x+1)}{x^2}=1[/tex]

[tex]\frac{(100x^2-200x+100-x^4+2x^3-x^2)}{x^2}=1[/tex]

[tex]-x^4+2x^3+99x^2-200x+100=x^2[/tex]

[tex]-x^4+2x^3+98x^2-200x+100=0[/tex]. Løser 4.-gradslikningen på kalkulator

Vi får fire løsninger, der den riktige er:

[tex]x \approx \underline{9,938 \; meter}[/tex]. Eller

Jeg kan dessverre ikke bekrefte eller avkrefte løsningen din. Men den ser da riktig ut (?). Jeg fikk denne oppgaven for mange år siden, og regnet titt og ofte på den, inntil jeg ga den til en lærer i høyskolen, og fikk tilbake 3-4 A4 ark med utregninger. Dessverre finner jeg ikke igjen disse arkene...

La den korteste kateten ha lengden y+1

Da har vi at

x2+(y+1)2=102 ved pythagoras

Ved formlikhet har vi at

(x-1):1=1:y som igjen gjør at y = 1:(x-1)

Ved å sette sammen dette får vi

x2+(1:(x-1)+1)2=102

x2+x2:(x-1)2=100

x2(x-1)2+x2=100(x-1)2

x2(x2-2x+1)+x2=100(x2-2x+1)

x4-2x3+x2+x2=100x2-200x+100

x4-2x3-98x2+200x-100=0


A= 1 B= -2 C= -98 D= 200 E= -100

Og det gir svarene (en fjerdegradslikning har alltid fireløsninger) :

x1= 1.1118819317572246
x2= 9.937993689363665
x3= 0.9087476616177668
x4= -9.958623282738657

Her er det opplagt x2 som er det rette svaret. Legg merke til at x1 er lengden av den korteste kateten.

anonym wrote: Her er det opplagt x2 som er det rette svaret. Legg merke til at x1 er lengden av den korteste kateten.

Da er vi to som har kommet fram til riktig løsning. Og til den kommentaren jeg har sitert, vil jeg legge til at det også (selvfølgelig) blir x1 som er svaret dersom spørsmålet var "hvor langt ned på veggen er det mulig å plassere stigen"...

[tex]\nwarrow \uparrow[/tex] Glemte å logge meg inn...

Skulle være unødvendig å bruke 4.gradsligning.
Her er en mulig løsning: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... .php?t=290
Fortsatt god påske
KM

administrator wrote:Skulle være unødvendig å bruke 4.gradsligning.
Her er en mulig løsning: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... .php?t=290
Fortsatt god påske
KM

Hah! Kjempe! Tusen takk!