matematikk.net

Jeg er bedt om å VISE at en funksjon (f(x) = x[sup]3[/sup]+3x+9) kun har ett nullpunkt. Hva menes med å vise?

Har problemer med å skille bevise, vise og forklare...

Tips: Se på den deriverte

Tenker at dersom den deriverte ikke kan være lik null har ikke funksjonen noe vendepunkt og ergo har den kun ett nullpunkt. Men hva med grafer som "vokser i etapper"?

Eks.

f(x) = x + sinx + 1

Må jeg sjekke om den deriverte har ulikt fortegn før og etter hvert punkt der funksjonen er lik null?

Den deriverte (3x[sup]2[/sup]+3) er positiv for alle verdier av x. Det vil si at funksjonsverdien øker hele tiden. Altså kan grafen bare passere x-aksen én gang

Wilja wrote:f(x) = x + sinx + 1

Den har også bare et nullpunkt. Den deriverte (cosx+1) varierer mellom 0 og 2.

En funksjon trenger ikke har et vendepunkt for å ha flere nullpunkter, f eks f(x) = x[sup]2[/sup] - 1.

Hvis funksjoner har en derivert som har samme fortegn hele tiden er det en såkalt "1-1-tydig" funksjon, altså det er ikke flere x-verdier som gir den samme funksjonsverdienverdien f(x). Slike funksjoner har maksimalt et nullpunkt.

Var upresist av meg å bruke uttrykket vendepunkt.

Men dersom den deriverte ikke endrer fortegn, har den ingen vendepunkt, topp- eller bunnpunkt...

Er det å derivere funksjonen og si om den deriverte er konstant positiv eller negativ nok for å vise at funksjonen kun har ett nullpunkt?

Teskje...

Wilja wrote:Var upresist av meg å bruke uttrykket vendepunkt.

Men dersom den deriverte ikke endrer fortegn, har den ingen vendepunkt, topp- eller bunnpunkt...

Vendepunkt er et punkt der den deriverte går over fra å øke til å avta eller omvendt, altså den andrederiverte er lik null.
Bunnpunkt/topppunkt er ekstremalpunkter, eller kritisk punkt (f'(x)=0).
Men: selv om f'(x)=0 trenger det ikke være et toppunkt eller bunnpunkt, se f eks på den funksjonen du skrev f(x) = x + sinx + 1

Jeg skrev litt om vendepunkt og ekstremalpunkter her i enn annen tråd.

Wilja wrote:Er det å derivere funksjonen og si om den deriverte er konstant positiv eller negativ nok for å vise at funksjonen kun har ett nullpunkt?

Det er nok til å si at den maksimalt kan ha et nullpunkt. Den trenger jo ikke nødvendigvis ha nullpunkter i det hele tatt. Hvis den skal skjære x-aksen flere ganger må jo grafen gå "opp og ned" og da må fortegnet på den deriverte endres.

Den kan også ha kun et nullpunkt selv om fortegnet på den deriverte endres, hvis dette skjer i nullpunktet...eks f(x)=x[sup]2[/sup]

Altså... til den funksjonen du hadde først. Den er definert for alle reelle tall, og den deriverte er konstant positiv. Da mener jeg det er nok til å vise at den har et, og bare et nullpunkt.

Jeg wrote:Det er nok til å si at den maksimalt kan ha et nullpunkt

Jeg var litt rask her, dette stemmer ikke helt. Det forutsetter at funksjonen er kontinuerlig* for alle x. Ta for eksempel f(x)=tan(x). Den har jo uendelig med nullpunkter selv om den deriverte aldri er negativ.


*Kontinuerlig funksjon forklart på en enkel måte: Grafen kan tegnes uten å løfte blyanten fra papiret.