matematikk.net

Hei! Er det noen som har geniale måter å løse oppgave 6a del 2 på høstens S2-eksamen?

Oppgaveteksten:

Ane har en vanlig sekssidet terning. Hun ønsker å finne ut hvor mange ganger hun i gjennomsnitt må kaste terningen for å få det samme antallet øyne i to kast på rad.

Hun har laget tabellen nedenfor.

Code: Select all

+-----------------+---+---+-----+--------+--------+-----+
|   Kast nummer   | 1 | 2 |  3  |   4    |   5    | ... |
+-----------------+---+---+-----+--------+--------+-----+
| SSH for at kast |   |   |     |        |        |     |
| er nødvendig    | 1 | 1 | 5/6 | (5/6)² | (5/6)³ | ... |
+-----------------+---+---+-----+--------+--------+-----+

a) Forklar at
$1+1+\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^3+\ldots$
vil gi det forventede antallet kast Ane må gjøre for å få det samme antallet øyne i to kast på rad.
Bestem denne verdien.

Jeg har skrevet et løsningsforslag til denne (se vedlegget), men jeg synes det blir fryktelig tungvint. Det må da være enklere måter å løse den på?

Hallo !
Har studert løysinga di når det gjeld OPPG. 6 a ( del 2 ). Registrerer at du brukar
valgtre for å rekne ut sannsynet. Denne framstillinga vil fort kunne "svulme opp" og bli lite oversiktleg når treet får mange greiner . Likevel meiner eg at du har levert ei fullgod løysing. Her følgjer ei alternativ løysing som kanskje krev mindre plass:

P( kast nr. 1 er nødvendig ) = P( kast nr. 2 er nødvendig ) = 100 % = 1 ( trivielt )

Innfører så hendinga

H: To kast som følgjer etter kvarandre har forskjellig utfall

P( H ) = 1 – P( ikkje H ) = 1 – P( to like utfall ) = 1 – P( to 1-arar eller to 2-arar eller………to 6 – arar ) = 1 – ( 1/6 * 1/ 6 +……+ 1/6*1/6) = 1 – 6 * 1/36 = 1 – 6/36 = 1 – 1/6 = 5/36

P( kast nr. 3 er nødv. ) = P( kast nr. 1 og kast nr. 2 har forskjellig utfall ) = P( H ) = 5/6

P( kast nr. 4 er nødv. ) = P( kast nr. 3 er nødv. og samtidig kast nr. 4 er forskjellig frå kast nr. 3 ) = 5/6 * p( H ) = 5/6 * 5/6 = (5/6)^2

Same mønsteret gjentek seg: For kvart ledd vi går utover i serien vil sannsynet minke med ein faktor p( H ) = 5/6 ( som skulle visast )

Finn summen av serien

1 + 1 + 5/6 + (5/6)^2 + (5/6)^3 + …………………………………..

Denne summen kan skrivast som
1 + S( n ) der

S( n ) er ei konvergent geom. rekkje med førsteledd a_1 = 1 og kvotient k = 5/6

Vi får summen
S = 1 + lim( S(n ) ) ( n går mot inf ) = 1 + a_1/( 1 – k ) = 1 + 1/(1 – 5/6) = 1 + 6 = 7

b) Finn forventningsverdien til summen av antal auge.

Lat X vere antal auge for kast med ein( 1 ) terning.

Forventningaverdien

E( X ) = 1 * 1/6 + 2*1/6 +………………+ 6 * 1/6 = 1/6 ( 1 + 2 + ….. + 6 ) = 21/6 = 3.5

Forventa sum antal auge når vi kastar ein terning 7 gongar = 7 * E( X ) = 7 * 3.5 = 24.5

Hei, og tusen takk for løsningsforslag.

Jeg er helt enig i at det er mye lurere å ta utgangspunkt i sannsynlighetene du har satt opp (eller sannsynlighetene i tabellen i oppgaven). Problemet ligger i hva oppgaven ber oss om å forklare.

Vi skal forklare at $1+1+\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^3+\ldots$ vil gi oss det forventede antall kast. Sånn jeg leser denne oppgaven så skal vi altså forklare at $\text{E(Antall kast nødvendig)}=1+1+\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^3+\ldots$

Såvidt jeg klarer å se, så viser du kun hvordan Ane har funnet sannsynlighetene som er skrevet i tabellen.

Hallo igjen !

Stalegjelsten etterlyser eit vanntett bevis for rekka som er presentert i oppgaveteksta.

For å fjerne all tvil, kan vi gjennomføre eit induksjonsbevis ( er usikker på om
dette inngår i S2 – pensum )

P( kast nr. 3 er nødv. ) = P ( Utfall kast nr. 1 er ulikt kast nr. 2 ) = P( H ) = 5/6

Bevis ved induksjon:
Påstand: ( * ) P( kast nr. n er nødv. ) = (5/6)^( n -2 ) når n > = 3

Trinn 1: Ser lett at påstand ( * ) er sann for n = 3

Trinn 2 : Antar no at ( * ) er sann for n = k ( k > = 3 )

Trinn 3: P( kast nr. ( k +1 ) er nødv. ) = P( kast nr. k er nødv. og samtidig

utfall kast nr. ( k ) ulikt kast nr. ( k - 1 ) =

( 5/6 )^( k -2 ) * p( H ) = (5/6)^( k – 2 )*5/6 = (5/6)^( k -1 ) = ( 5/6)^( ( k +1 ) – 2 )

Dersom ( * ) er sann for n = k , så er den også sann for n = ( k + 1 ) , n > = 3

Konklusjon:
P( kast nr. 1 ) = P( kast nr. 2 ) = 1 ( trivielt ). Induksjonsbeviset ovanfor viser vidare at

P( kast nr. n er nødv. ) = ( 5/6 )^( n – 2 ) for alle n >= 3 ( som skulle visast )

Tusen hjertelig takk @Mattebruker! Dessverre er induksjonsbevis kun pensum i R2.

Jeg tolker ikke oppgaven slik at vi skal bevise at [tex]1+1+\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^3+\ldots[/tex] gir [tex]\text{E}(X)[/tex], men oppgaven ber oss å forklare «at det er sånn». Så mitt spørsmål er egentlig hva eksamensgruppa har tenkt at en S2-elev skal svare her.

Forventet antall kast etter åpningskastet er 1 + 5/6 + (5/6)^2 + ...+ (5/6)^n = 1/(1-5/6) = 6 fordi denne summen består av ledd hvor hvert av dem kan betraktes som et vektet tilleggskast, 1*1+1*(5/6 )+ 1*(5/6)^2 + ...+1* (5/6)^n og hvor hver vekt, (5/6)^n, angir hvor stor andel av dette tillegget på 1 skal telle med i summeringen opp til samlet forventet antall. Vi ser da også at denne summen stemmer med summen gitt av formelen for forventet antall kast:
1 + (5/6)^1*1 + (5/6)^2*2 + ...+ (5/6)^n*n etter åpningskastet = 6.