matematikk.net

oppgave z^2 +2iz-1-i. Finn alle løsningene til ligningene, Hvordan kan du verifisere at du har funnet alle
løsningene?
Jeg tenkt å starte med abc-formelen, men så komme ble jeg usikker med 2iz og i så jeg skjønner ikke helt hvordan jeg kommer frem? Håper å få litt tips?

Hva er likninga? Det mangler likhetstegn i det uttrykket du skrev.

z^2 +2iz-1-i=0

Bruk abc-formelen: z = [tex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}[/tex] ( hugs at i[tex]^{2}[/tex] = - 1 )

Gitt likninga
z[tex]^{2}[/tex] + 2iz - 1 - i = 0

Abc - formelen gir z = -i [tex]\pm[/tex] [tex]\sqrt{i}[/tex]
Finn [tex]\sqrt{i}[/tex] = z[tex]_{1}[/tex]

z[tex]_{1}[/tex][tex]^{2}[/tex] = i = e[tex]^{i(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] z[tex]_{1}[/tex] = (e[tex]^{i(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}[/tex])[tex]^{\frac{1}{2}}[/tex] = e[tex]^{i(\frac{\pi }{4} + k\pi )}[/tex]

k = 0 [tex]\rightarrow[/tex] z[tex]_{1}[/tex] = e[tex]^{i\frac{\pi }{4}}[/tex] = cos[tex]\frac{\pi }{4}[/tex] + i sin[tex]\frac{\pi }{4}[/tex]

k = 1 [tex]\rightarrow[/tex] z[tex]_{1}[/tex] = e[tex]^{i\frac{5\pi }{4}}[/tex] =cos[tex]\frac{5\pi }{4}[/tex] + i sin[tex]\frac{5\pi }{4}[/tex]

Den opphavelege likninga får dermed i alt 4 løysingar:

z = -i + e[tex]^{i\frac{\pi }{4}}[/tex] [tex]\vee[/tex] z = -i - e[tex]^{i\frac{\pi }{4}}[/tex] [tex]\vee[/tex] z = -i + e[tex]^{i\frac{5\pi }{4}}[/tex] [tex]\vee[/tex] z = -i - e[tex]^{i\frac{5\pi }{4}}[/tex]

Kan dette stemme ?

Jeg ser at Tom Lindstrøm i sin lærebok Kalkulus s.131 (3.utg. 3.opplag 2012) foreslår at $\sqrt{z}$ for kompleks $z$ skal være den kvadratroten som har argument i $[0,\pi)$. Man velger altså den kvadratroten som ligger i øvre halvplan. Denne konvensjonen gir bare to løsninger av likningen.

Alle 4 løysingane eg presenterer passar i likninga. Samtidig verkar det litt merkeleg at ei andregradslikning får meir enn 2 løysingar.
Konvensjonen til Lindstrøm skaper orden i systemet. Takk for innspel !

jeg skjønner ikke hvordan du får det i abc formelen- a=1 c=-1 b er jeg usikker på. kunne noen ha forklart meg der.

abc-formelen ( sjå tidlegare innlegg ) refererer til den allmenne andregradslikninga

a z[tex]^{2}[/tex] + b z + c = 0
I klartekst betyr dette at........

a : talfaktor i andregradsleddet ( z[tex]^{2}[/tex] - leddet )

b : talfaktor i z-leddet ( førstegradsleddet )

c : konstantleddet

Tilbake til likninga ( "in question" ):
z[tex]^{2}[/tex] + 2i z - 1 - i = 0

I denne konkrete likninga er a = 1 ( "usynleg talfaktor" ) , b = 2 i ( i: imaginær einheit ) , c = (-1 - i )
Da står det berre att å "plugge inn " desse parametrane i abc-formelen , og forenkle uttrykket.
Lukke til og god fornøyelse !

takk for hjelpen

jeg får litt feil svar svare skal bli:−i ±1/kvrdratrot(2)(i+1). Jrg får -1kvadratoroten av (i+1)