matematikk.net

Finn lengden av kurven y = (1/2)x[sup]2[/sup] for x mellom -1 og 1
Jeg får til så mye:

L = [itgl][/itgl][rot][/rot](1+y'[sup]2[/sup]) dx
= [itgl][/itgl][rot][/rot](1 + x[sup]2[/sup]) dx
-velger x = sinht, dx = sinht dt
= [itgl][/itgl] cosh[sup]2[/sup]t dt - hva gjør jeg nå?

Du må huske på å ta rottegnet av cosh^2(t). Da får du bare cosht som blir sinht integrert

[itgl][/itgl]cosh[sup]2[/sup]tdt er rett så langt.

Ved å bruke identitetene;
cosh2t=cosh[sup]2[/sup]t+sinh[sup]2[/sup]t
og cosh[sup]2[/sup]t-sinh[sup]2[/sup]t=1

Kan vi omforme integranden til;

1/2[itgl][/itgl](cosh2t+1)dt

dette blir;

(1/4)sinh2t+(1/2)t +C

Så er sinh2t=2sinht*cosht

Dermed kan svaret utrykkes som;

(1/2)sinht*cosht+(1/2)t+C

Deretter henter du inn igjen den opprinnelige variabelen som
du hadde uttrykt ved x=sinht.
t kan utrykkes ved; t=ln(x+ [rot][/rot](x[sup]2[/sup]+1))

Ved tilbakeføring av den opprinnelige variabelen ser resultatet slik ut;

(1/2)x[rot][/rot](x[sup]2[/sup]+1)+(1/2)ln(x+[rot][/rot](x[sup]2[/sup]+1))+C

Deretter er det bare å sette inn grensene.

Jeg fikk svaret til å bli;

[rot][/rot]2+(1/2)ln[(1+[rot][/rot]2)/(-1+[rot][/rot]2)]

Svaret kan forenkles fordi

(1 + [rot][/rot]2) / (-1 + [rot][/rot]2) = (1 + [rot][/rot]2)[sup]2[/sup] / [(- 1 + [rot][/rot]2)(1 + [rot][/rot]2)] = (1 + [rot][/rot]2)[sup]2[/sup] / (-1 + 2) = (1 + [rot][/rot]2)[sup]2[/sup].

Dermed blir lengden av kurven

[rot][/rot]2 + (1/2)*ln[(1 + [rot][/rot]2)[sup]2[/sup]] = [rot][/rot]2 + ln(1 + [rot][/rot]2).