matematikk.net

oppg:
En person kaster en terning og holder på til han første gang får et resultat han har fått før.
La X betegne antall kast og finn fordelingen til X.

På første kast er sannsynet for to like terninger lik 0
P(X=1)=0

På andre kast:
P(X=2) = 1/6 sjans til å få samme tall som på første kast.

Bommet vi på kast nr 2, vil vi på 3. kast ha
P(X=3)= 2/6 sjans til å få likt som enten kast 1 eller 2

Men videre, blir det bare å "legge til" 1/6 pr kast? Jo fleie gang man kaster uten å få like, jo større blir sjansen for å få to like på neste kast.

På det 7. kastet MÅ man få et tall fra et tidligere kast. Men det går ikke an å skrive
P(X=7) = 1

summen av punktsannsynlighetene skal bli 1, her vil vi få 3.5 (som er forventningsverdien)

Hva er det jeg misser når jeg skriver opp punktsannsynlighetene?

blir det å ta sannsynet for treff x sannsynet for bom på gjeldene kast?

sannsyn wrote:oppg:
En person kaster en terning og holder på til han første gang får et resultat han har fått før.
La X betegne antall kast og finn fordelingen til X.

På første kast er sannsynet for to like terninger lik 0
P(X=1)=0

På andre kast:
P(X=2) = 1/6 sjans til å få samme tall som på første kast.

Bommet vi på kast nr 2, vil vi på 3. kast ha
P(X=3)= 2/6 sjans til å få likt som enten kast 1 eller 2

Men videre, blir det bare å "legge til" 1/6 pr kast? Jo fleie gang man kaster uten å få like, jo større blir sjansen for å få to like på neste kast.

På det 7. kastet MÅ man få et tall fra et tidligere kast. Men det går ikke an å skrive
P(X=7) = 1

summen av punktsannsynlighetene skal bli 1, her vil vi få 3.5 (som er forventningsverdien)

Hva er det jeg misser når jeg skriver opp punktsannsynlighetene?

Det du misser er å skille mellom sjansen for å få én av de foregående utfall i n-te kast og sjansen for å komme i en posisjon hvor man kan gjøre et n-te kast.
For å gjøre et 6-te kast, må man f.eks bare ha fått ulike utfall på de 5 foregående kastene.
Dette kan finne sted på 6*5*4*3*2 måter og sjansene for det er følgelig $\frac{6*5*4*3*2}{6^5}$.
$ P(1) = 0$
$P(2) = \frac{6}{6}\cdot\frac{1}{6}$
$P(3) = \frac{6\cdot 5}{6^2}\cdot\frac{2}{6}$
$P(4) = \frac{6\cdot 5\cdot4}{6^3}\cdot\frac{3}{6}$
$P(5) = \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3}{6^4}\cdot\frac{4}{6}$
$P(6) = \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}{6^5}\cdot\frac{5}{6}$

$\Sigma_1^6P(n) = 1 - \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}{6^5}\cdot\frac{1}{6}$.

Altså:
La $T$ være å få et kastutfall lik én av de tidligere.
La $N$ være å kaste for n-te gang.
$P(N\cap T) = P(N)\cdot P(T|N)$
For$\, N = 6 => P(N) = \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}{6^5}$
$P(T|N) = \frac{5}{6},\,P(N)\cdot P(T|N) = \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}{6^5}\cdot\frac{5}{6}$