matematikk.net

Et basseng har et volum på 1000m^3. Ved tiden t = 0 er bassenget tomt. Vi fyller så vann i
bassenget med en konstant hastighet v = 2,4m^3 per minutt. Samtidig lekker det vann ut av
bassenget med hastighet som til enhver tid er proporsjonal med vannvolumet.
Proporsjonalitetskonstanten er a = 3 ∙ 10^-3minutt^-1.
La V(t) være vannvolumet i bassenget t minutter etter vi begynte å fylle vann i bassenget.
a) Sett opp en differensiallikning som V(t) må tilfredsstille.
b) Løs likningen ved metoden med integrerende faktor.
c) Finn når bassenget er halvfullt.

Ville satt pris på om noen kunne loset meg igjennom denne, b) er for så vidt grei, men hva a) og c) gjelder er jeg nokså blank.

$y = $ vann i bassenget målt i $ m^3$

$y´= $ endringen i vannmengde pr minutt. Det tilføres $2.4 m^3$ pr. minutt,

og lekasjen pr. minutt, $ 0.003y$, må trekkes fra. Det gir følgende differensiallikning:

$y´= 2.4 - 0.003y$ Dette gir ved bruk av integrerende faktor:

$y = 800 - Ce^{-0.003t},\,y(0) = 0 => C = -800$. Så vi får:

$y = 800 - 800 e^{-0.003t}$ Halve bassenget tar $500 m^3$

$500 = 800 - 800e^{-0.003t}$

$t = \frac{ln{\frac38}}{-0.003} = 327$

Man kan i tillegg se at $800m^3$ er maksimal vannmengde i bassenget. Det stemmer godt med den opprinnelige
differensiallikningen, da tilførsel og lekkasje er like stor for $y = 800$.