matematikk.net

Hei Jeg sliter med å angripe denne oppgaven. Noen som forstår hvordan man går frem?

En komet med masse m passerer en planet med masse M= 6,0·1024 kg. Kometen opplever da et potensial
U(r)= -GMm/|r| på grunn av gravitasjonskraften. Her er G= 6,67·10-11 Nm2
/kg2 gravitasjonskonstanten
og r(t)= [x(t), y(t), z(t)] er posisjonen til kometen når origo for koordinatsystemet er valgt i planetens
massesenter.
a) Anta at kometen har en hastighet på 10 km/s når den er uendelig langt borte. Hva er hastigheten til
kometen når |r|= 100 000 km? Vi ser bort fra gravitasjonskraften fra andre planeter.
b) Skrive ned bevegelsesligningene som beskriver tidsutviklingen til posisjonen r(t).

Første delspørsmål ( a ) burde vere eit overkomeleg problem:

Potensialfunksjonen U ( r ) viser potensiell energi i avstand r frå origo.

Ettersom mekanisk energi er bevart , kan vi skrive

( * ) U( [tex]\infty[/tex] ) + E[tex]_{k}[/tex]( [tex]\infty[/tex] ) = U( r[tex]_{1}[/tex] ) + E[tex]_{k}[/tex]( r[tex]_{1}[/tex] )

U( [tex]\infty[/tex] ) = lim( r [tex]\rightarrow[/tex][tex]\infty[/tex] ) U( r ) = 0

Finn farta v[tex]_{1}[/tex] ( r[tex]_{1}[/tex] = 100 000 km = 10[tex]^{8}[/tex] m )

E[tex]_{k}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] m v[tex]^{2}[/tex]

Ved innsetting i ( * ) får vi

0 + [tex]\frac{1}{2}[/tex] m v[tex]^{2}[/tex] = - [tex]\frac{G M m}{r_{1}^{2}}[/tex] + [tex]\frac{1}{2}[/tex]m v[tex]_{1}[/tex][tex]^{2}[/tex]

Løyser ut v[tex]_{1}[/tex] og får

v[tex]_{1}[/tex] =( v([tex]\infty[/tex] )[tex]^{2}[/tex] + [tex]\frac{2 G M}{r^{2}}[/tex])^0.5

Er meir usikker når det gjeld punkt b

For å bestemme rørslelikningane , er det naturleg å ta utgangspunkt i N.2. lov.

Da må vi aller først finne F = F( r ).

Sidan kometen opplever eit gravitasjonspotensial, har vi at

[tex]\overrightarrow{F}[/tex] = - [tex]\bigtriangledown[/tex]U( r ) = - [tex]\frac{dU}{dr}[/tex] = [tex]\frac{G M m}{r^{2}}[/tex][tex]\overrightarrow{e_{r}}[/tex]

Gangen vidare: [tex]\overrightarrow{a}[/tex] = [tex]\frac{\overrightarrow{F}}{m}[/tex]

[tex]\overrightarrow{v( t )}[/tex] = [tex]\int \overrightarrow{a}[/tex] dt ( her møter eg " veggen " )

Kanskje fins det nokon der ute som kan ta opp stafettpinnen og bringe den i mål ?