matematikk.net

hva har større prioritet

enn eksponentialfunksjon [tex]e^x[/tex] eller en eksponentiell vekst i form av et grunntall [tex]k^x[/tex] ?

jeg vet at eksponentiell vekst er større enn polynomiell vekst osv.

men betyr det at [tex]2^{x} > x^{100000000000000000000000}[/tex]
når man nærmer seg uendelig?

Jepp!

TS, her

er det slik at [tex]e^x > x^10[/tex]
? mtp. dominerende ledd

Ja, eksponentialuttrykk med grunntall større enn 1 (eller mindre enn -1), vokser raskere enn polynomuttrykk.

Du kan tenke på dette fra et derivasjonsperspektiv. Hvis du deriverer et polynom, så synker graden.

Hvis du deriverer et eksponentialuttrykk, så bevares graden.

Aleks855 wrote:Ja, eksponentialuttrykk med grunntall større enn 1 (eller mindre enn -1), vokser raskere enn polynomuttrykk.

Du kan tenke på dette fra et derivasjonsperspektiv. Hvis du deriverer et polynom, så synker graden.

Hvis du deriverer et eksponentialuttrykk, så bevares graden.

lurt triks men

[tex]e^x > a^x \forall a[/tex]
eller blir dette feil siden [tex]e = 2.718[/tex] ?

$e$ er ikke et spesielt tall i denne sammenhengen. $6^x$ vil være mer dominerende enn $e^x$, for eksempel, fordi $6 > e$.

Aleks855 wrote:$e$ er ikke et spesielt tall i denne sammenhengen. $6^x$ vil være mer dominerende enn $e^x$, for eksempel, fordi $6 > e$.

så generelt har vi at [tex]a^x > x^k \forall a, k > 1[/tex]

men hva med [tex]log(x)[/tex] er denne mer dominerende enn begge to?

Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?

Aleks855 wrote:Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?

[tex]2^x[/tex] er mest, så kommer [tex]log(x)[/tex] og til slutt [tex]x^2[/tex] ?

Gjest wrote:

Aleks855 wrote:Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?

[tex]2^x[/tex] er mest, så kommer [tex]log(x)[/tex] og til slutt [tex]x^2[/tex] ?

mente til slutt [tex]log(x)[/tex] men det jeg spør om er hvis man har

[tex]3^x, x^10000000, \left ( log(x) \right )^{100000000}[/tex]

vil fremdeles [tex]3^x[/tex] være dominerende her?

Ja, $3^x$ er dominerende her.

Aleks855 wrote:Ja, $3^x$ er dominerende her.

ah, ok
det er ikke helt intuitivt for meg da jeg av en eller annen grunn tenker at uendelig multiplisert med uendelig er større enn f.eks 3 ^ uendelig = 3*3*3..3^n

Det er ikke rart. Matematikken blir sær når prøver å behandle $\infty$ som et tall på den måten.

Det tryggeste er nok, som jeg nevnte såvidt tidligere, å se på at selv om $x^{1000000}$ har et sterkere utgangspunkt for lavere verdier av $x$, så vil $2^x$ bli brattere raskere. Dette er noe vi kan se ved å betrakte hvordan funksjonene oppfører seg under derivasjon.

Etter $1000000$ derivasjoner, så vil $x^{1000000}$ gi en konstant funksjon, mens $2^x$ vil fremdeles være $2^x$, multiplisert med et eller annet tall. Og siden de gjentatte deriverte av en funksjon forteller oss hvordan funksjonen oppfører seg når det gjelder stigning, så er det naturlig å konkludere at $2^x > x^{1000000}$ når $x\to\infty$.

Aleks855 wrote:Det er ikke rart. Matematikken blir sær når prøver å behandle $\infty$ som et tall på den måten.

Det tryggeste er nok, som jeg nevnte såvidt tidligere, å se på at selv om $x^{1000000}$ har et sterkere utgangspunkt for lavere verdier av $x$, så vil $2^x$ bli brattere raskere. Dette er noe vi kan se ved å betrakte hvordan funksjonene oppfører seg under derivasjon.

Etter $1000000$ derivasjoner, så vil $x^{1000000}$ gi en konstant funksjon, mens $2^x$ vil fremdeles være $2^x$, multiplisert med et eller annet tall. Og siden de gjentatte deriverte av en funksjon forteller oss hvordan funksjonen oppfører seg når det gjelder stigning, så er det naturlig å konkludere at $2^x > x^{1000000}$ når $x\to\infty$.

Takk, ble mye klarere nå