matematikk.net

Bruk Lagranges metode til å finne maksimum og minimum for funksjonen f (x, y) = xy^3 på enhetssirkelen gitt ved x^2 + y^2 = 1.

Hvordan regner jeg ut dette? trenger virkelig hjelp idag

Hva har du tenkt og prøvd selv? Vet du hva Lagranges metode er for noe?

Metoden går ut på å maksimere en funksjon $f$ under en bi-betingelse $g$. Dette gjøres ved å studere lagrangefunksjonen $\mathcal{L}$ definert som

$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = f(x) - \lambda g(x)$

I ditt tilfellet så er funksjonen $f$ gitt ved $f(x, y) = xy^3$ og $g$ er gitt som $g(x) = x^2 + y^2 - 1$. Herfra må du finne ekstremalpunktene til $\mathcal{L}$ altså må du løse likningsetttet

$
\begin{align*}
\frac{ \mathrm{d} \mathcal{L} }{ \mathrm{d} x } &= 0 \\
\frac{ \mathrm{d} \mathcal{L} }{ \mathrm{d} y } &= 0 \\
\frac{ \mathrm{d} \mathcal{L} }{ \mathrm{d} \lambda } &= 0 \\
\end{align*}
$

Gi dette ett forsøk å se hvor langt du kommer =) Si ifra når du eventuelt står fast!

kunne du vist et eksempel på hvordan du regner ut dL/dx?

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}\mathcal{L}}{\mathrm{d}x}
&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigl( \color{green}{f(x)} - \lambda \color{blue}{g(x)} \bigr) \\
&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigl( \color{green}{xy^3} - \lambda( \color{blue}{x^2 + y^2 - 1}) \bigr)
= y^3 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x - \lambda \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^2
= y^3 - 2 \lambda x
\end{align*}
$

får du dL/dy til å bli = 3xy^2 - 2 λy

og hvordan renger du da ut dL/d λ ?

og du vil vel ende opp med tre ligninger med tre ukjente, hva gjør du så videre?

$\mathrm{d}L/\mathrm{d}y$ ser riktig ut. Den siste deriverte blir bare $g(x)$, altså $x^2 + y^2 - 1$.

Når du har tre likninger med tre ukjente så kan du løse dem som ett likningssett. Jeg regner med du har vært borti å løse likninger med to ukjente før?

fikk at x=1, y=2 og lamda=3
er dette riktig?

Dette ser nok ikke helt riktig ut dessverre, du kan sette inn verdiene dine inn i likningen for å se om de er riktige

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
3xy^2 - 2 y \lambda &= 0 \\
y^3 - 2x \lambda &= 0 \\
x^2 + y^2 &= 1
\end{align*}
$

Vi ganger første likning med $x$ og likning 2 med -$y$. Da får vi

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
3x^2y^2 - 2 xy \lambda &= 0 \\
- y^4 + 2xy \lambda &= 0 \\
x^2 + y^2 &= 1
\end{align*}
$

og ved å legge sammen de to øverste likningene står vi igjen med

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
3x^2y^2 - y^4 &= 0 \\
x^2 + y^2 &= 1
\end{align*}
$

som og kan skrives som

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
(3x^2 - y^2)y^2 &= 0 \\
x^2 + y^2 &= 1
\end{align*}
$

Hva får du når du løser dette likningsettet?

får du at x = 1/2 og y = sqrt av 3/2 ?

Husk at du får de negative løsningene og. Altså $x^2 = 4$ betyr at $x$ kan være $2$ eller $-2$. Så du får fire løsninger, men verdiene dine er riktige.

$x = 1/2, y=\sqrt{3}/2$, $x = -1/2, y=\sqrt{3}/2$, $x = 1/2, y=-\sqrt{3}/2$ eller $x = -1/2, y=-\sqrt{3}/2$