matematikk.net

Da D være området i første kvadrant gitt ved x^2 + y^2 ≤ 4
Finn dobbeltintegralet av (x + y)^2 dA.

Noen som kan hjelpe?

Hvordan ser området du skal integrere over ut? På bakgrunn av formen til dette området, samt integranden ville jeg anbefalt deg bytte til polarkoordinater

$ \displaystyle \hspace{1cm}
\iint f(x,y) \,\mathrm{d}(x, y) = \iint f(r \cos \theta,r \sin \theta) \cdot r \,\mathrm{d}(r, \sin \theta)
$

Området D = kvartsirkel i 1. kvadrant med radius r = 2

Innfører polarkordinatar slik Nebuchadnezzar foreslår:

x = r cos( fi ) , 0 <= r <= 2 , 0<= fi <= pi/2
y = r sin( fi )

( x + y )^2 = r^2 ( 1 + sin( 2 fi ) )

Flateelementet dA = r dr dfi

∬_D. (x+y)^2) dA der D er området i første kvadrant gitt ved x^2+y^2 <= 4

Så dobbeltintegralet blir:

(= r^2 ( 1 + sin( 2 fi ) ) ??

Stemmer det

$ \hspace{1cm}
(x+y)^2
= \color{red}{x^2 + y^2} + 2\color{green}{x}\color{blue}{y}
= \color{red}{r^2} + 2(\color{green}{r \cos \theta})(\color{blue}{r \sin \theta})
= r^2 ( 1 + \sin 2\theta )
$

hvor det ble brukt at $\sin 2x = 2 \cos x \sin x$, $x^2 + y^2 = r^2$, $x = r \cos \theta$ og $y = r \sin \theta$.

Du har allerede fått grensene av mattegjest så nå vil jeg gjerne se at du prøver å gjøre resten =) Det finnes svært mange ressurser på nett, og i bøker om hvordan en setter opp integraler i polarkoordinater.

Stopper det opp kan du laste opp ett bildet av hva du har tenkt og prøvd, dette er matte-hjelp ikke vi gjør innleveringene for deg. Og vi hjelper deg gjerne, men da må du vise hvor langt du kommer selv.

blir svaret 4(pi/2 + 1) ?

Stemmer godt det,flott jobb! Ved å gange inn 4 kan det og skrives som $2\pi + 4$ =)