matematikk.net

Treng hjelg på del oppgåve g)
Sjå oppgåve tekst og mi løysing nedafor

Oppgåve 2.154 R" SIGMA 2015
I ein pyramide ABCDT er grunnflata ABCD eit kvadrat med side like 4. Sidekanten CT står vinkelrett på grunnflata og har lengda 2√6. Skjeringspunktet mellom diagonalane i grunnflata kallar vi H.

a) Rekn ut vinkelen mellom sidekanten AT og grunnflata. Vis at ∠ CHT = 60°.

Vi plasserer pyramiden i eit koordinatsystem med A i origo og slik at B får koordinatane
(4, 0, 0), mens D får koordinatane (0, 4, 0).

b) Finn koordinatane til C og T.
c) Vis at planet α gjennom B, D og T har likninga 3x + 3y - √6z – 12 = 0.
d) Kor stor blir vinkelen mellom α og xy-planet?

Ei linje n går gjennom C og står vinkelrett på α.

e) Set opp ei parameterframstilling for n
g) Set opp likningane for dei to plana som går gjennom BD og har 60° vinkel til α.



I ein pyramide ABCDT er grunnflata ABCD eit kvadrat med side like 4. Sidekanten CT står vinkelrett på grunnflata og har lengda 2√6. Skjeringspunktet mellom diagonalane i grunnflata kallar vi H.

a) Rekn ut vinkelen mellom sidekanten AT og grunnflata. Vis at ∠ CHT = 60°.

AC = √((AB)^2+ (BC)^2 ) ⇒ √(4^2+ 4^2 ) = √(16+ 16) = √32 = √16 · √2 = 4√2

tan ∠ CAT = CT/AC ⇒ tan ∠ CAT = (2√6)/(4√2) = (1√6 · √2)/(2√2 · √2 ) = (1√12)/(2 · 2 ) = (1√4 · √3)/4 = (2 · √3)/4 = 1/2 √3 = 0,8660
tan – 1 (0,8660) = 40,89°

∠ CAT = 40,9°

CH = 1/2 · AC ⇒ CH = 1/2 · 4√2 = 2√2

tan ∠ CHT = CH/CT ⇒ cos ∠ CHT = (2√2)/(2√6) = (√2 · √6)/(√6 · √6) = √12/6 = (√4 · √3)/6 = (2√3)/6 = 1/3 √3
tan – 1 (1/3 √3) = 60°

∠ CHT = 60°

Vi plasserer pyramiden i eit koordinatsystem med A i origo og slik at B får koordinatane
(4, 0, 0), mens D får koordinatane (0, 4, 0).

b) Finn koordinatane til C og T.

(AB) ⃗ = [4 - 0, 0 - 0, 0 – 0] = [4, 0, 0]
(AD) ⃗ = [0 - 0, 4 - 0, 0 – 0] = [0, 4, 0]

(AC) ⃗ = (AB) ⃗ + (AB) ⃗ = (AB) ⃗ + (AD) ⃗ ⇒ [4, 0, 0] + [0, 4, 0] = [4, 4, 0]

C (4, 4, 0)

(AE) ⃗ = [0 - 0, 0 - 0, 2√6 – 0] = [0, 0, 2√6]
(ET) ⃗ = (AC) ⃗ = [4, 4, 0]

(AT) ⃗ = (AE) ⃗ + (ET) ⃗ ⇒ [0, 0, 6√2] + [0, 4, 0] = [4, 4, 2√6]

T (4, 4, 2√6]

c) Vis at planet α gjennom B, D og T har likninga 3x + 3y - √6z – 12 = 0.

(BD) ⃗ = [0 - 4, 4 - 0, 0 – 0] = [ - 4, 4, 0]
(BT) ⃗ = [4 - 0, 4 - 4, 2√6 – 0] = [4, 0, 2√6]

(n_α ) ⃗ = (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [ - 4, 4, 0] x [4, 0, 2√6]

(_4^(-4)) _(0 )^4 〖⤨ 〗_( 2√6 )^( 0 ) 〖⤨ 〗_( 4)^(-4) 〖⤨ 〗_( 0 )^( 4 ) _( 2√6)^( 0)

[((4) · (2√6)) - (0) · (0)), (0) · (4) - ((2√6) · (-4)), ((-4) · (0)) – ((4) · (4))]
[(8√6 - 0), (0 + 8√6), (0 -16)] = [8√6,8√6,- 16] = 8 · [√6,√6,- 2]

a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
√6(x – 0) + √6(y – 4) – 2(z – 0) = 0
√6x + √6y - 4√6 – 2z = 0 │· √6/2
x · √6 · √6/2 + y · √6 · √6/2 - 2z · √6/2 - 4 · √6 · √6/2 = 0
3x + 3y - z√6 - 12 = 0

α: 3x + 3y - z√6 - 12 = 0




d) Kor stor blir vinkelen mellom α og xy-planet?

|(n_α ) ⃗ | = |[8√6,8√6,- 16]| = √(〖(8√6)〗^2+〖(8√6)〗^2+〖(-16)〗^2 ) = √(384+384+256)
= √1024 = 32
|(r_xl ) ⃗ | = |[0,0,1 ]| = √(0^2+0^2+1^2 ) = √( 0+0+1) = √( 1) = 1
(n_α ) ⃗ · (r_xl ) ⃗ = [8√6,8√6,- 16] · [0,0,1 ] = (8√6·0 + 8√6 · 0+(-16)·1) = - 16

cos ((n_α ) ⃗,(r_xl ) ⃗ ) = ((n_α ) ⃗ · (r_xl ) ⃗)/(|(n_α ) ⃗ ⃗ | · |(r_xl ) ⃗ | ) = (- 16)/( 32 · 1 ) = - 1/2
cos – 1 (- 1/2) = 120°

∠ ((n_α ) ⃗,(r_xl ) ⃗ ) = 180° - 120° = 60°

Ei linje n går gjennom C og står vinkelrett på α.

e) Set opp ei parameterframstilling for n

C (4, 4, 0), (n_α ) ⃗ = [3,3,- √6]

n: {█(x=4+3t@y=4+3t@z=-√6 t )┤

f) Linja n skjer α i F. Finn koordinatane til F.

α: 3x + 3y - z√6 - 12 = 0
3(4 + 3t) + 3(4 + 3t) - √6(- √6t) - 12 = 0
12 + 9t + 12 + 9t + 6t – 12 = 0
9t + 9t + 6t +12 = 0
24t = -12
t = - 12/24
t = - 1/2

x = 4 + 3t y = 4 + 3t z = - √6t
x = 4 + 3 · (- 1/2) y = 4 + 3 · (- 1/2) z = - √6 · (- 1/2)
x = 8/2 - 3/2 y = 8/2 - 3/2 z = √6/2
x = 5/2 y = 5/2

F (5/2,5/2,√6/2)


g) Set opp likningane for dei to plana som går gjennom BD og har 60° vinkel til α.

Ser på geogebra at dei to plana som går gjennom BD og har 60° vinkel til α er
z = 0 og 3x + 3y - z√6 - 12 = 0

Kan ein rekne dette ut på nokon måte? Og eventuell korleis gjer ein dette.

Ser ein på punktet H går Linja y = x gjennom det noko som gir z = 0 og planet α er parallell med linja HT og står vinkelrett på linja BD. Vinkel mellom linja y = x og planet er 60°.

g) Set opp likningane for dei to plana som går gjennom BD og har 60° vinkel til α.

Ser på geogebra at dei to plana som går gjennom BD og har 60° vinkel til α er
z = 0 og 3x + 3y - z√6 - 12 = 0

Kan ein rekne dette ut på nokon måte? Og eventuell korleis gjer ein dette.

Ser ein på punktet H går Linja y = x gjennom det noko som gir z = 0 og planet α er parallell med linja HT og står vinkelrett på linja BD. Vinkel mellom linja y = x og planet er 60°.

Hei igjen! Du står sannelig på i disse harde tidene og får lønn for strevet ved å mestre matematikken!
Når det gjelder spørsmål g, vet vi at planet $\alpha$ går gjennom $BD$ og danner $60$ grader med xy-planet. Følgelig er likningen for dette planet $z = 0$. Men det er også et plan til, plan $\beta$ som danner $60$ grader med $\alpha$. Det får vi øye på ved å kikke inn på planet parallelt med linjen gjennom $BD$.
Planet som her danner $60$ grader med $\alpha$, vil også danne $60$ grader med xy-planet. Følgelig vil dette planet og $\alpha$ være symmetriske om planet gjennom $BD$ som er parallelt med z-aksen. Samtidig vil, på grunn av symmetrien, $x$ og $y$ koordinatene til normalene til disse planene være identiske. Når $x$ og $y$ = 0 i $\alpha$, vil $z$ være $-\frac{12}{\sqrt{6}}$ mens $z$-koordinaten i $\beta$ vil være $\frac{12}{\sqrt{6}}$. Så likningen for $\beta$ blir
$3x + 3y + z\sqrt6 - 12 = 0$.
Vi kunne også kommet frem til dette ved å bruke setningen for vinkelen mellom to vektorer, dvs vinkelen mellom normalene, som også er $60$ grader.

$\cos (60) = \frac12 = \frac{[3,3,-\sqrt6]\cdot[3,3,x]}{\sqrt{24} * \sqrt{18 + x^2}}$.
Her passer $ x = \sqrt6$ i likningen.

Det bør tilføyes i begrunnelsen ovenfor at siden begge planene inneholder $BD$, vil likningen for skjæringslinja mellom planene og xy-planet være den samme. Det eneste som da endrer seg i likningen for $\beta$ sammenliknet med $\alpha$ er koeffisienten til $z$ - koordinaten.

Hei!
Takk for god rettleiing
Har fullført oppgåve etter dine tips
Håper eg har forstått dei?
sjå mi løying nedafor

g) Set opp likningane for dei to plana som går gjennom BD og har 60° vinkel til α.

Planet α kryssar z-aksen gjennom punktet (0,0, - 2√6) og går i positiv retning gjennom linja BD og vidare gjennom punktet T (4, 4, 2√6).

Planet α som går gjennom BD dannar ein vinkel på 60° med xy-planet, likninga for dette planet blir då:

z = 0

Planet β kryssar z-aksen i punktet (0,0, 2√6) og går i negativ retning gjennom linja BD, slik at vinkel mellom desse to plana β og α dannar ein vinkel på 60°.

cos 60° = 1/2

(n_α ) ⃗ = |[3,3,- √6]| = √(3^2+ 3^2+(-√6 )^2 ) = √(9+ 9+6) = √24 = √4 · √6 = 2√6
(n_β ) ⃗ = |[3,3,z]| = √(3^2+ 3^2+z^2 ) = √(9+ 9+z^2 ) = √(18+z^2 )
(n_α ) ⃗ · (n_β ) ⃗ = [3,3,- √6] · [3,3,z] = (3 · 3 + 3 · 3 + (- √6) · z) = 9 + 9 - √6z = 18 - √6z

1/2 = (18 - √6 z )/(2√6 · √(18+z^2 ) ) ⇒ ((2√6 · √(18+z^2 )))^2 = (36 - 2√6 z )^2
(4 · 6) · (18 + z2) = 1296 - 144√6 z + 4 · 62
24 · 18 + 24z2 = 1296 - 144√6 z + 144
432 + 24z2 = 1296 - 144√6 z + 144
24z2 + 144√6 z + 432 – 1296 – 144 = 0
24z2 + 144√6 z – 1008 = 0
24(z2 + 6√6 z – 42 = 0

z = √6 ˄ z = - 7√6

Her passer z = √6

(n_β ) ⃗ = [3, 3, √6]

a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
3(x – 0) + 3(y – 4) –√6 (z – 0) = 0
3x + 3y - 12 + √6z = 0
3x + 3y + √6z - 12 = 0

Β: 3x + 3y - z√6 - 12 = 0

Hei igjen
Utrekningane i siste innlegget har eg gjort ein feil
Her er det riktige svaret

Planet β kryssar z-aksen i punktet (0,0, 2√6) og går i negativ retning gjennom linja BD, slik at vinkel mellom desse to plana β og α dannar ein vinkel på 60°.

cos 60° = 1/2

(n_α ) ⃗ = |[3,3,- √6]| = √(3^2+ 3^2+(-√6 )^2 ) = √(9+ 9+6) = √24 = √4 · √6 = 2√6
(n_β ) ⃗ = |[3,3,z]| = √(3^2+ 3^2+z^2 ) = √(9+ 9+z^2 ) = √(18+z^2 )
(n_α ) ⃗ · (n_β ) ⃗ = [3,3,- √6] · [3,3,z] = (3 · 3 + 3 · 3 + (- √6) · z) = 9 + 9 - √6z = 18 - √6z

1/2 = (18 - √6 z )/(2√6 · √(18+z^2 ) ) ⇒ ((2√6 · √(18+z^2 )))^2 = (36 - 2√6 z )^2
(4 · 6) · (18 + z2) = 1296 - 144√6 z + 4 · 6z2
24 · 18 + 24z2 = 1296 - 144√6 z + 24z2
432 + 24z2 = 1296 - 144√6 z + 24z2 = 0
- 24z2 - 144√6 z - 432 + 1296 + 24z2 = 0
- 144√6 z + 864 = 0
-144(√6 z - 6) = 0
√6 z - 6 = 0
√6 z = 6
z = (6 · √6)/(√6 · √6)
z = (6 · √6)/6
z = √6

z = √6

(n_β ) ⃗ = [3, 3, √6]

a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
3(x – 0) + 3(y – 4) –√6 (z – 0) = 0
3x + 3y - 12 + √6z = 0
3x + 3y + √6z - 12 = 0

Β: 3x + 3y - z√6 - 12 = 0

Dette ser veldig bra ut. Bare stusser litt ved den aller siste utregningen:

(n_β ) ⃗ = [3, 3, √6]

a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0


3(x – 0) + 3(y – 4) –√6 (z – 0) = 0 Her skal det vel være $\sqrt6$ og ikke $-\sqrt6$ ?
3x + 3y - 12 + √6z = 0
3x + 3y + √6z - 12 = 0

Β: 3x + 3y - z√6 - 12 = 0 Er dette likningen for $\alpha$ eller $\beta$ ?

Ja det skal stå + √6
Utrekninga er riktig, men når eg skriv den til slutt har eg berre skreve feil, Beklager
β 3x + 3y + √6z - 12 = 0