vektorar

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

vektorar

Innlegg geil » 27/03-2020 08:09

Hei Har ei oppgåve eg treng hjelp til
oppgåve 2.147 R2 Sigma 2015
Oppgåva er som følgande sjå nedan for.
Har løyst a-e utan problem, men står fast på f.
Kva meinar ein med at ein dreier pyramiden om PQ til R fell i første kvadrant av xy-planet.
Her er svara på deloppgåvene a-e

a) 70,5°
b) R (0,0,8), H (2,2,0)
c) α: 2x + 2y + z - 8 = 0, ∠ RHO = 70,5°
d) l: {█(x=2t@y=2t@z=t )┤
e) S (16/( 9 ),16/( 9 ),8/( 9 )), Avstand O til planet q = 8/( 3 )

Figuren viser ein pyramide, OPQR. Lengdene OP, OQ og OR går fram av figuren.
∠ POQ = 90°, og OR står vinkelrett på grunnflata OPQ. Normalen frå O på PQ treffer PQ i H.

a) Vis at OH = 2√2. Forklar at ∠ RHO blir vinkelen (bøyingsvinkelen) mellom grunnflata OPQ og sideflata QPR. Rekn ut denne vinkelen.

Vi plasserer pyramiden i eit koordinatsystem med O i origo, P (4, 0, 0) og Q (0, 4, 0).

b) Kva blir koordinatane til punktet R? Finn koordinatane til H.
c) Punkta P, Q og R definerer eit plan α. Finn likninga for planet α og rekn ut vinkelen
mellom α og xy-planet.

Ei linje l går gjennom origo og står vinkelrett på α.

d) Gi ei parameterframstilling av l.

e) Finn koordinatane til skjeringspunktet mellom l og α. Rekn ut avstanden frå O til α.

Vi dreier pyramiden om PQ til R fell i første kvadrant av xy-playnet.

f) Finn z-koordinaten til O etter dreiinga. Finn også dei andre koordinatane til O etter dreiing.
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Kristian Saug » 27/03-2020 08:13

Best om du gjengir hele oppgaveteksten. Ellers blir det vanskelig å hjelpe.
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 473
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: vektorar

Innlegg geil » 27/03-2020 08:26

Hei!
Oppgåve teksten står under delsvara ordrett gjenngitt.
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Kristian Saug » 27/03-2020 10:09

Hei igjen,

Ja, men det mangler en del opplysninger.

"Figuren viser ein pyramide, OPQR. Lengdene OP, OQ og OR går fram av figuren.
∠ POQ = 90°, og OR står vinkelrett på grunnflata OPQ. Normalen frå O på PQ treffer PQ i H."

Hvor er figuren? Koordinater? Lengder?

Ta bilde og legg ved figuren!
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 473
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: vektorar

Innlegg geil » 27/03-2020 12:13

Hei!

Opplysningane gitt på teininga er


OP = 4, OQ = 4, ∠ POQ = 90°
OR = 8, ∠ ROQ = ROP = 90°
∠ RHQ = 90° og OHP = 90°


Hei her er utrekningane på deloppgåve a-e

PQ = √((OP)^2 + (0Q)^2 ) = √(4^2 + 4^2 ) = √(16+16) = √32 = √16 · √2 = 4√2

∆ OPQ er likebeina, ∠ POQ = 90° og ∠ OPQ = ∠ OQP = 45°
∆ OPH ~ ∆ OQH er likebeina, ∠ OHP = ∠ OHQ = 90° og ∠ OPH = OQH = 45°
OH = PH = QH = 1/2 PQ

OH = 1/2 PQ = 1/2 · 4√2 = 2√2

OH = 2√2

∆ OHR er rettvinkla, ∠ HOR 90°. ∠ RHO blir då ein spiss vinkel mellom grunnflata OPQ og sideflata PQR.

tan ∠ RHO = OR/OP = 8/(2√2) ≈ 2,83

tan – 1 (2,83) = 70,54°

∠ RHO = 70,5°
Vi plasserer pyramiden i eit koordinatsystem med O i origo, P (4, 0, 0) og Q (0, 4, 0).

b) Kva blir koordinatane til punktet R? Finn koordinatane til H.

∠ HOR 90°, og punktet R ligg då på z-aksen og avstanden mellom OR = 8 blir koordinatane:

R (0,0,8)

(QP) ⃗ = (QO) ⃗ + (OP) ⃗ = [0, - 4, 0] + [4, 0, 0] = [4, - 4, 0]
(QH) ⃗ = 1/2 QP = 1/2 [4, - 4, 0] = [2, - 2, 0]
(OH) ⃗ = (OQ) ⃗ + (QH) ⃗ = [0, 4, 0] + [2, - 2, 0] = [2, 2, 0]

H (2, 2, 0)

c) Punkta P, Q og R definerer eit plan α. Finn likninga for planet α og rekn ut vinkelen
mellom α og xy-planet.

(RQ) ⃗ = [0 - 0, 4 – 0, 0 - 8] = [0, 4, - 8]
(RP) ⃗ = [4 - 0, 0 – 0, 0 - 8] = [4, 0, - 8]

(n_α ) ⃗ = (RQ) ⃗ x (RP) ⃗ = [0, 4, - 8] x [4, 0, - 8]

(_4^0) _(0 )^4 〖⤨ 〗_( -8)^( -8 ) 〖⤨ 〗_4^0 〖⤨ 〗_( 0 )^( 4 ) _(-8)^(-8)

[((4) · (-8)) - (0) · (-8)), (-8) · (4) - ((-8) · (0)), ((0) · (0)) – ((4) · (4))]
[(-32 - 0), (- 32 - 0), (0 – 16)] = [-32,-32,-16] = - 16 · [2, 2, 1]


R (0, 0, 8)

2(x – 0) + 2 (y – 0) + 1(z – 8) = 0
2x + 2y +z - 8 = 0

α: 2x + 2y +z - 8 = 0

|n ⃗_α | = |[2,2,1]| = √(2^2+ 2^2+ 1^2 ) = √(4+ 4+ 1) = √9 = 3
|(r_xy ) ⃗ | = |[0,0,1]| = √(0^2+ 0^2+ 1^2 ) = √(0+ 0+ 1) = √1 = 1
n ⃗_α · r ⃗_xy= [2, 2, 1] · [0, 0, 1] = (2 · 0 + 2 · 0 + 1 · 1) = (0 + 0 + 1) = 1

cos (n ⃗_α,r ⃗_xy) = (n ⃗_α · r ⃗_xy)/(|n ⃗_α | · |(r_xy ) ⃗ | ) = 1/( 3 · 1 ) = 1/( 3 ) = 0,3333

cos – 1 (2,83) = 70,54°

∠ RHO = 70,5°

Ei linje l går gjennom origo og står vinkelrett på α.

d) Gi ei parameterframstilling av l.

O (0,0,0)
r ⃗_l = [2, 2, 1]

l: {█(x=2t@y=2t@z=t )┤

e) Finn koordinatane til skjeringspunktet mellom l og α. Rekn ut avstanden frå O til α.

2x + 2y +z - 8 = 0
2 · 2t + 2 · 2t + t - 8 = 0
4t + 4t + t = 8
9t = 8
t = 8/( 9 )

x = 2t y = 2t z = t
x = 2 · 8/( 9 ) y = 2 · 8/( 9 ) z = 8/( 9 )
x = 16/( 9 ) y = 16/( 9 )

S (16/( 9 ),16/( 9 ),8/( 9 ))

q = | ax_1 + by_1 + 〖cz_(1 + d)〗_( ) |/(√(2^2 + 2^2 + 1^2 ) ) = (|2 · 0 + 2 · 0 + 1 · 0 - 8| )/(√(2^2 + 2^2 + 1^2 ) ) = |- 8|/( √(4 + 4 + 1) ) = 8/( √9 ) = 8/( 3 ) ≈ 2,67
Vi dreier pyramiden om PQ til R fell i første kvadrant av xy-playnet.
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Kristian Saug » 27/03-2020 12:35

Hei igjen,

Har sett grundig gjennom alt du har gjort. Alt er riktig. Godt jobbet!

"Vi dreier pyramiden om PQ til R fell i første kvadrant av xy-planet."

Med dette menes at pyramiden dreies rundt en akse, PQ. PQ forblir altså nøyaktig den samme som før.
Men toppen (pkt R) "bikker fremover" og treffer xy-planet i første kvadrant. Om du ser det hele ovenfra (vinkelrett ned på xy-planet), vil punktet R få positiv x - og y - koordianat. I en enhetsirkel er første kvadrant i vinkelen 0 - 90 grader.

Håper jeg forklarte noenlunde forståelig!
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 473
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: vektorar

Innlegg geil » 27/03-2020 14:02

Hei
Her er nokre tankar
R får då koordinatane (x, y, o) z = 0, dvs. ligg i xy-planet 1 kvadrant
Punktet O vil då ligge i ein avstand 8/3 over xy-planet der z-koordinaten er 8/3 fordi avstanden mellom
O og S skjeringspunktet med planet er 8/3. og nytt punkt blir då O (8/3, 8/3, 8/3)

Er dette riktig tenkt og korleis skal ein rekne dette ut?
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Kristian Saug » 27/03-2020 15:19

[tex]\begin{vmatrix} \overrightarrow{OH} \end{vmatrix}=\sqrt{8}[/tex] = [tex]2\sqrt{2}[/tex]

[tex]\begin{vmatrix} \overrightarrow{HR} \end{vmatrix}=\sqrt{72}[/tex] = [tex]6\sqrt{2}[/tex]

Total lengde fra origo, [tex]O[/tex] til [tex]R'[/tex] blir da [tex]2\sqrt{2}[/tex] + [tex]6\sqrt{2}[/tex] = [tex]8\sqrt{2}[/tex]

Siden [tex]R'[/tex] ligger på linja [tex]y=x[/tex] , får vi nytt punkt:

[tex]R'(8,8,0)[/tex]
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 473
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: vektorar

Innlegg geil » 27/03-2020 19:47

Hei!
Takk
Har ein del ting eg ønskjer svar på for å få bedre forståing.

Korleis gå frå total lengde OR = 8√2 til koordinatane R_1 (8,8,0)
R_1 ligg i xy-planet så z-koordinaten må vere null, har det samanheng med at R (0, 0, 8) dreias til
xy-planet at vi får R_1 (8,8,0)
Likninga blir y = x fordi den ligg i 1. kvadrant ?.

Korleis finne koordinatane til nye O

|(OH) ⃗ | = |(|(HO_1 ) ⃗ |)| = 2√2

|(|(OO_1 ) ⃗ |)| = |(OH) ⃗ | + |(|(HO_1 ) ⃗ |)| = 2√2 + 2√2 = 4√2
Korleis gå frå total lengde OO_1 = 5√2 til koordinatane O_1 (x,y,z)
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Mattegjest » 27/03-2020 21:40

Punktet R' plasserer se på forlenginga av OH , dvs. på linja y = x.

OR' = OH + HR' = OH + HR = 2[tex]\sqrt{2}[/tex] + 8[tex]\sqrt{2}[/tex] = 10[tex]\sqrt{2}[/tex]

Koordinatane til R': x-koordinaten = y-koordinaten = 10[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\cdot[/tex]sin45[tex]^{0}[/tex] = 10

Med andre ord : R'(10 , 10 , 0 )

z-koordinaten til O' = avstanden frå O' til xy-planet = avstanden frå O' til sideflata PQR' ( denne ligg no i xy-planet ) =

avstanden frå O til planet [tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex] ( utrekna tidlegare )

x- og y-koordinaten til O'

Hint: Ta utgangspunkt i [tex]\bigtriangleup[/tex]OHR ( før dreiinga ). Her kjenner du alle tre sidene.
Teikn figur og finn ut korleis denne trekanten ( O'HR' ) er plassert etter dreiinga( hugs at HR' ligg på forlenginga av OH )
Finn så komponenten av HO' ( HO' = HO = 2[tex]\sqrt{2}[/tex] ) i xy-planet ( ligg på linja y =x )
Til slutt x- og y-koordinaten: x = y = HO' [tex]\cdot[/tex] sin45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]
Mattegjest offline

Re: vektorar

Innlegg Mattegjest » 27/03-2020 22:07

Rettelse ( siste linje i mitt forrige innlegg ): x-og y-koordinaten til O' : ( 2[tex]\sqrt{2}[/tex] + [tex]\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex])[tex]\cdot[/tex]sin45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]
Mattegjest offline

Re: vektorar

Innlegg geil » 28/03-2020 01:24

Takk
O_1: (2√2 + (2√2)/( 3 ) ) · sin 45°

Korleis kjem ein fram til avstanden (2√2)/( 3 )
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Mattegjest » 28/03-2020 07:13

cosR'HO' = cosRHO = [tex]\frac{HO}{RH}[/tex] = [tex]\frac{2\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}[/tex] = [tex]\frac{1}{3}[/tex]

Lat F vere fotpunktet for normalen frå O' på xy-planet ( linja y = x ). Da er

HF = HO'[tex]\cdot[/tex] cosR'HO' = 2[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\frac{1}{3}[/tex] =[tex]\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]

Avstanden OF ( ligg på linja y = x ) = OH + HF = 2[tex]\sqrt{2}[/tex] + [tex]\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex] = [tex]\frac{8\sqrt{2}}{3}[/tex]

x- og y-koordinaten til O' = x-og y-koordinaten til F = OF [tex]\cdot[/tex] sin45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]
Mattegjest offline

Re: vektorar

Innlegg geil » 28/03-2020 11:00

Tusen takk for all hjelp.
Her er mitt svar på f)

Vi dreier pyramiden om PQ til R fell i første kvadrant av xy-playnet.

f) Finn z-koordinaten til O etter dreiinga. Finn også dei andre koordinatane til O etter dreiing.

Vi dreier pyramiden rundt ein akse, PQ. PQ blir uendra. Punktet R «bikkar framover» og treff xy-planet i første kvadrant på linja x = y.

|(OH) ⃗ | = |[2,2,0]| = √(2^2+ 2^2+ 0^2 ) = √(4+ 4+ 0) = √8 = √4 · √2 = 2√2

(HR) ⃗ = [0 - 2 , 0 - 2, 8 - 0] = [ - 2, - 2, 8]

|(HR) ⃗ | = |[-2,-2,8]| = √(〖(-2)〗^2+〖(-2)〗^2+8^2 ) = √(4+4+64) = √72 = √36 · √2
= 6√2

Punktet til R_1 ligg på forlenginga av OH, på linja x = y

|(|(OR_1 ) ⃗ |)| = |(OH) ⃗ | + |(HR) ⃗ | = 2√2 + 6√2 = 8√2

Koordinatane til R_1(x, y, 0), z-verdien er null fordi punktet R_1ligg i xy-planet. Koordinatane ligg på linja x = y og x-koordinat er lik y-koordinat.

Vi opprettar to normalar frå punktet R_1ned på x-aksen og y-aksen, skjeringspunktet med
x-aksen kallar vi A og skjeringspunktet med y-aksen kallar vi B

Sin 45° = |(|(AR_1 ) ⃗ |)|/|(|(OR_1 ) ⃗ |)|
|(|(AR_1 ) ⃗ |)|= Sin 45° · |(|(OR_1 ) ⃗ |)| = Sin 45° · 8√2 = 8
x-koordinat = 8

Sin 45° = |(|(BR_1 ) ⃗ |)|/|(|(OR_1 ) ⃗ |)|
|(|(BR_1 ) ⃗ |)|= Sin 45° · |(|(OR_1 ) ⃗ |)| = Sin 45° · 8√2 = 8
y-koordinat = 8

R_1(8, 8, 0)




Avstanden frå O_1 til xy-planet er avstanden frå O_1 til sideflata PQR_1, som no ligg i xy-planet. Denne avstanden er lik avstanden frå O til planet α og er 8/( 3 ). Avstanden frå O_1 til xy-planet blir då z-koordinaten til punktet O_1.

Vi opprettar ein normal frå punktet O_1ned på linja y = x, kallar punktet for C.

cos ∠ RHO = |(|(HO) ⃗ |)|/|(|(RH) ⃗ |)| = (2√2 )/(6√2) = 1/( 3 )

|(OH) ⃗ | = |(|(HO_1 ) ⃗ |)| = 2√2

|(HC) ⃗ | = |(|(HO_1 ) ⃗ |)| · cos ∠ R_1HO_1 = 2√2 · 1/( 3 ) = (2√2)/( 3 )

Avstanden OF ligg på linja y = x

|(|(OC) ⃗ |)| = |(OH) ⃗ | + |(|(HC) ⃗ |)| = 2√2 + (2√2)/( 3 ) = (3 · 2√2)/( 3 ) + (2√2)/( 3 ) = (6√2)/( 3 ) + (2√2)/( 3 ) = (8√2)/( 3 )

Vi opprettar to normalar frå punktet C ned på x-aksen og y-aksen, skjeringspunktet med
x-aksen kallar vi D og skjeringspunktet med y-aksen kallar vi E

Sin 45° = |(|(DC) ⃗ |)|/|(|(OC) ⃗ |)|
|(|(DC) ⃗ |)|= Sin 45° · |(|(OC) ⃗ |)| = Sin 45° · (8√2)/( 3 ) = √2/( 2 ) · (8√2)/( 3 ) = (8 · 2)/( 6) = 16/( 6 ) = 8/( 3 )
x-koordinat = 8/( 3 )

Sin 45° = |(|(EC) ⃗ |)|/|(|(OC) ⃗ |)|
|(|(EC) ⃗ |)|= Sin 45° · |(|(OC) ⃗ |)| = Sin 45° · 8√2 = √2/( 2 ) · (8√2)/( 3 ) = (8 · 2)/( 6) = 16/( 6 ) = 8/( 3 )
y-koordinat = 8/( 3 )

O_1 (8/( 3 ),8/( 3 ),8/( 3 ) )
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Mattegjest » 28/03-2020 12:07

Her kan det vere svært nyttig å teikne ein figur som viser korleis punktet mitt F ( som du kallar C )
plasserer seg i xy-planet på linja y = x.

Du har funne OC = [tex]\frac{8\sqrt{2}}{3}[/tex] der punktet C ligg på linja y = x ( hugs at alle punkt på denne linja
har same x- og y-koordinat. Difor er det nok å rekne ut den eine , eks. y-koordinaten ) . Denne er katet i ein rettvinkla
trekant med hypotenus lik OC og motståande vinkel lik 45[tex]^{0}[/tex] ).
Altså er x-koordinaten = y-koordinaten = OC [tex]\cdot[/tex] sin45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8\sqrt{2}}{3}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]

P. S. ! Vi kunne like gjerne rekne ut x-koordinaten: Da får vi x = OC[tex]\cdot[/tex] cos45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]

Hugs at sin45[tex]^{0}[/tex] = cos45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

Håpar dette notatet verkar oppklarande !
Mattegjest offline

Neste

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 263 gjester