matematikk.net

Finn div F og curl F for vektorfeltet

[tex]\mathbf{F}(r,\theta) = r\mathbf{i} + sin\theta \mathbf{j}[/tex]

Løsningsforslag: Noen som kan forklare hvorfor de partielle deriverte blir slik som vist her? Hvorfor blir det x/r osv? Skjønner ikke tankegangen.

ikke helt sikker på hva du mener, men:

[tex]2r dr = 2x dx + 2y dy[/tex]

[tex]r dr = x dx + y dy[/tex]

[tex]r\,dr=r\,\cos(\theta)\,dx\,+\,r\,\sin(\theta)\,dy[/tex]

[tex]\,dr=\cos(\theta)\,dx\,+\,\sin(\theta)\,dy[/tex]

…?

Dersom jeg tar den første forstår du nok den andre. Er du med på at

$ (r^2)' = 2r \cdot r' $?

Eller med litt mer fancy notasjon

$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} r^2 = 2r \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}x}
$

Som føger direkte fra enten kjerneregelen eller produktregelen. Litt omstokking gir

$
\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} r^2
= \frac{1}{2r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (x^2 + y^2)
= \frac{2x}{2r}
= \frac{x}{r} = \cos \theta
$

Hvor den siste overgangen følger fra at $x = r \cos \theta$. Klarer du den andre nå?

Jepp, det gir mening, takk!
(regner med at du mente $ \frac{2x}{2r} $, ikke $ \frac{2r}{2r} $)

Det stemmer fiksa det opp nå.