matematikk.net

Hvordan deriverer jeg integralet av ln(1+t^2)dt fra x^2 til 7x?

Får ln((49x^2-1)/(x^4+1)) men mistenker at dette er feil.

Tanken her er jo at en kombinerer analysens fundamentalsetning

$\hspace{1cm}
\int_a^b f(t) \,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)
$

(hvor $F$ er en antiderivert av $f(x)$) med kjerneregelen

$\hspace{1cm}
\bigl[f(g(x))\bigr] = g'(x) f'(g(x))
$

Gjør vi dette så får vi

$ \hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^{g(x)} f(t) \,\mathrm{d}t = g'(x) \cdot F'(g(x)) - (0)' \cdot F'(0) = g'(x) \cdot f(g(x))
$

Ser du hvordan du kan anvende formelen ovenfor på din oppgaven? Hint, det er noen forskjeller du må ta hensyn til.

vil g(x) i dette tilfellet være 7x?

Ja, men legg merke til at nedre integrasjonsgrense i oppgaven ikke er null.

vil det bli 7ln(1+(7x)^2)-(2xln(1+x^4) ?

Ser riktig ut!