matematikk.net

Hvorfor skal jeg ikke komme frem til riktig svar ved å gjøre det om til et sinusuttrykk først? Jeg vet at det lettere å bare se direkte verdiene for x. Vet det ikke er så pent ført.

Hei,

sin(x)-cos(x)=1
sin(x)=1+cos(x)

kvadrerer på begge sider:

(sin(x))^2= (1 + cos(x))^2

benytt deg av at (sin(x))^2 = 1 - (cos(x))^2

1 - (cos(x))^2 = (cos(x))^2 + 2 cos(x) + 1
2 cos(x)^2 + 2 cos(x) = 0

faktoriserer:

2 cos(x) (cos(x) + 1) = 0

og får

cos(x)=0
hvilket gir x = phi/2 + n*phi

eller

cos(x) + 1 = 0
cos(x) = -1
hvilket gir x = phi + n*2phi

Du kan også omforme til sinusfunksjon, på samme måte. Og får akkurat samme svar

Hei,

sin(x)-cos(x)=1
sin(x)=1+cos(x)

kvadrerer på begge sider:

(sin(x))^2= (1 + cos(x))^2

benytt deg av at (sin(x))^2 = 1 - (cos(x))^2

1 - (cos(x))^2 = (cos(x))^2 + 2 cos(x) + 1
2 cos(x)^2 + 2 cos(x) = 0

faktoriserer:

2 cos(x) (cos(x) + 1) = 0

og får

cos(x)=0
hvilket gir x = phi/2 + n*phi

eller

cos(x) + 1 = 0
cos(x) = -1
hvilket gir x = phi + n*2phi

Du kan også omforme til sinusfunksjon, på samme måte. Og får akkurat samme svar

Kommentar:

Når vi " kvadrerer på begge sider " , vil vi normalt få inn ei falsk løysing. At det fungerer bra i
dette tilfelle , skuldast eit " lykketreff ".

Prøv same metoden på denne likninga : sinx + cosx = 1
Da vil du sjå at vi får inn x = [tex]\pi[/tex] som ei falsk løysing.

Hei mattegjest,

Ja,

sin(x)+cos(x)=1
sin(x) = 1 - cos(x)
(sin(x))^2 = 1 - 2cos(x) + (cos(x))^2
1 - (cos(x))^2 = 1 - 2cos(x) + (cos(x))^2
2(cos(x))^2 - 2cos(x) = 0
2cos(x) (cos(x) -1) = 0

cos(x)=0
x = phi/2 + n*phi
kontroll:
sin(phi/2) + cos(phi/2) = 1 + 0 = 1. Stemmer
sin(3phi/2) + cos(3phi/2) = -1 + 0 = -1. Stemmer ikke
altså svar:
x = phi/2 + 2n*phi

eller

(cos(x) -1) = 0
cos(x)=1
x = 2n*phi
kontroll:
sin(2phi) + cos(2phi) = 0 + 1 = 1. Stemmer
altså svar:
x = 2n*phi

Som man ser, er dette en type likning (med aktuelle løsningsmetode) der svarene må sjekkes og konkluderes med. Som vist. Dette gjelder også f eks rasjonale likninger, der man sjekker at svaret ikke gir null i nevner.

Heilt greitt å setje prøve på svaret slik du antyder. Alternativt kan likninga skrivast på forma

[tex]\sqrt{2}[/tex]( sinx [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] - cosx [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]) = [tex]\sqrt{2}[/tex] [tex]\cdot[/tex] sin( x - [tex]\frac{\pi }{4}[/tex] ) = 1

( Aktuell formel : sin( u - v ) = sinu cosv - cosv sinu )

Her slepp vi å kvadrere og da er det heller ikkje nødvendig å setje prøve på svaret.

Uttrykket a cosv + b sinv

Dette uttrykket kan vi sjå på som skalarproduktet av to vektorar. Ved omskriving får vi

a cosv + b sinv = [a , b ] [tex]\cdot[/tex] [ cosv , sinv ] = ( pr. def ) [tex]\left | [a , b] \right |[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\left | \right[cosv , sinv]|[/tex][tex]\cdot[/tex] cos( v - [tex]\varphi[/tex] ) , tan([tex]\varphi[/tex]) = [tex]\frac{b}{a}[/tex]



= [tex]\sqrt{a^{2} + b^{2}}[/tex] [tex]\cdot[/tex][tex]\sqrt{cos^{2}v + sin^{2}v}[/tex][tex]\cdot[/tex]cos( v - [tex]\varphi[/tex])

= [tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex][tex]\cdot[/tex] cos( v - [tex]\varphi[/tex] )

Denne omskrivinga kan vi bruke når vi skala løyse likningar av forma

a cosv + b sinv = c , c [tex]\neq[/tex] 0

Ja, det er beste metoden!