matematikk.net

Jeg skal undersøke varmetapet fra ulike rom over ett døgn (ved eksperimentering) og sammenlikne resultatet med ulike programmer for slik beregning. Ekperimentet går ut på at jeg varmer opp et rom med en viss effekt over ett døgn og logger temperaturen i veggen og i lufta over perioden. Jeg har følgende likningsett (per vegg) som trenger løsning:

Cp*m*dT[sub]m[/sub]/dt = U*A*(T[sub]r[/sub] - T[sub]m[/sub])

Q[sub]p[/sub] + p*Cp*V*(T[sub]u[/sub] - T[sub]r[/sub]) = U*A*(T[sub]r[/sub] - T[sub]u[/sub])

hvor T[sub]m[/sub] og T[sub]r[/sub] er ukjente. T[sub]m[/sub] er veggtemperaturen. Veilederen min nevnte noe om at denne difflikningen kan løses vha diskretisering, noe jeg aldri har vært borti. Mistenker at det har noe med (T[sub]A[/sub] - T[sub]B[/sub])/delta t å gjøre, men er på ingen måte sikker. Kan noen forklare meg dette, eventuelt hvordan jeg kan benytte mine loggede temperaturer for å løse settet? På forhånd takk!

Det er vel det å løse systemet numerisk han mener. Du kan feks finne noe info om løsning av (partielle) diffligninger med differansemetoden. Det hele går ut på å aproksimere de deriverte med enkle uttrykk. Du får dermed lineære ligninger som du må løse (matrisesystem).

Sorry. Var litt for sjapp i svingen der. Antar det bare er T_m og T_r som er ukjente, og resten er bare konstanter? Du kan jo bruke den andre ligningen til å finne T_r (numerisk hvis du vil). Da har du bare en ode med T_m, si

T' = f(T,t)

for en funksjon f. Vi diskretiserer så tiden, t_0, t_1, ... der t_0 er starttiden (jeg regner med du har en initialbetingelse). Og så approksimerer vi T(t_i) = T_i (som bare blir en tilnærming). Anta vi kjenner T_i. Integrer så diffligningen over i intervallet [t_i , t_(i+1)]. Vi får da

T_(i+1) = T_i + [itgl][/itgl]f(T,t)dt

Avhengig av hvordan vi approksimerer integralet på høyre side, kan vi få mange ulike metoder. Merk at metoden over er bare ett eksempel. Det finnes flere andre metoder, men den over er den enkleste.