Integrasjon

[MatematikkOslo]

Noen her som skjønner opppgavea)?

[DennisChristensen]

Vi parametriserer kurven som $\gamma(t) = (t,t^2)^T, \hspace{2ex}0\leq t\leq 2.$ Da får vi lengden
$$
L = \int_{t=0}^1|\gamma'(t)|\,\mbox{d}t = \int_{t=0}^1|(1,2t)^T|\,\mbox{d}t = \int_{t=0}^1\sqrt{1+4t^2}\,\mbox{d}t.
$$
La $s = 2t$, så $\mbox{d}s = 2\mbox{d}t$. Da ser vi at $L = \frac12\int_{s=0}^2\sqrt{1+s^2}\,\mbox{d}s$, som ønsket.

[MatematikkOsIo]

Hei Dennis!

Hvordan kom du frem til dette, skjønte ikke helt :/

[DennisChristensen]

Hei Dennis!

Hvordan kom du frem til dette, skjønte ikke helt :/

Gitt en parametrisert kurve $\gamma(t),\hspace{1ex}a\leq t\leq b$, er kurvens lengde $\mathcal{L}(\gamma)$ definert som
$$
\mathcal{L}(\gamma) = \int_a^b\lVert\gamma’(t)\rVert\, \mbox{d}t.
$$

[MatematikkOsl0]

Ja, men hvordan går du fra ledd nr 2 til ledd nr 3 i den øvre delen?

[DennisChristensen]

Ja, men hvordan går du fra ledd nr 2 til ledd nr 3 i den øvre delen?

Har kun brukt at $\gamma'(t) = (1,2t)^T$ og definisjonen til lengden av en vektor: $|\gamma'(t)| = \sqrt{1^2 + (2t)^2} = \sqrt{1 + 4t^2}$.

[123matte]

Ja, det var forståelig, men ikke det nederste

[DennisChristensen]

Ja, det var forståelig, men ikke det nederste

Det er kun en substitusjon, lik dem du har sett i matematikk R2. Det kan være lurt å friske opp deler av R2-pensumet, da dette benyttes hyppig i universitetsmatematikken.