matematikk.net

https://imgur.com/a/cTD5GbT

Hei, jeg sliter litt med å finne hva normalvektoren skal være slik at jeg kan få regnet ut oppgaven ved hjelp av Stokes. Kunne noen hjulpet meg litt her, takker for svar!

g(x,y,z)=z-y. Ta de partielle deriverte!

vilma123 wrote:g(x,y,z)=z-y. Ta de partielle deriverte!

Det du har funnet der må vell være Curl til F? Jeg trenger normalvektoren

Gjest123 wrote:

vilma123 wrote:g(x,y,z)=z-y. Ta de partielle deriverte!

Det du har funnet der må vell være Curl til F? Jeg trenger normalvektoren

For å finne normalvektoren kan du parametrisere en av flatene som har skjæringskurven som rand og ta det fundamentale vektorproduktet. Er du med på ideen?

N=<0,-1,1>

reneaas wrote:

Gjest123 wrote:

vilma123 wrote:g(x,y,z)=z-y. Ta de partielle deriverte!

Det du har funnet der må vell være Curl til F? Jeg trenger normalvektoren

For å finne normalvektoren kan du parametrisere en av flatene som har skjæringskurven som rand og ta det fundamentale vektorproduktet. Er du med på ideen?

For å utdype. Siden vi har et plan y-z = 0, kan vi parametrisere flaten ved

$$
\boldsymbol{r}(x,y) = (x, y, z) = (x,y,y)
$$

Det fundamentale vektorproduktet er

$$
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} = (1,0,0) \times (0,1,1) = \boldsymbol i \times (\boldsymbol j + \boldsymbol k) = \boldsymbol i \times \boldsymbol j + \boldsymbol i \times \boldsymbol k = \boldsymbol k - \boldsymbol j = (0,-1,1)
$$

Løsningen av problemet er da

$$
\oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot \left(\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y}\right) dxdy
$$

Fordelen med å bruke det fundamentale vektorproduktet er at du aldri trenger normalisere normalvektoren du får som ofte leder til enklere integrander.

Er det ikke mulig å parametrisere skjæringskurven ved hjelp av cosinus og sinus?

x^2 + y^2 = 2y kan omskrives til x^2 + (y-1)^2 = 1 Da får vi r(r,theta) = rcos(theta), rsin(theta), ???.

Anonymbruker wrote:Er det ikke mulig å parametrisere skjæringskurven ved hjelp av cosinus og sinus?

Hvis man vil beregne linjeintegralet direkte og altså ikke bruke Stokes' teorem, kan man for eksempel parametrisere skjæringskurven ved [tex]\vec r(\theta)=[\cos \theta,1+\sin\theta,1+\sin\theta][/tex], der [tex]\theta\in[0,2\pi\rangle[/tex].