matematikk.net

Noen som kan hjelpe meg med denne oppgaven?

Hint: Egenvektorer med ulike egenverdier er lineært uavhengige. Det betyr at x og y er lineært uavhengige.

Full løsning:

[+] Skjult tekst

Anta videre at $\beta$ er egenverdien til $v$. Da er $Mv=\beta v$, som er det samme som $M(ax+by)=\beta(ax+by)$, så $a\lambda x+b\mu y=a\beta x+ b\beta y$. Det betyr at $a(\lambda-\beta)x+b(\mu-\beta)y=0$. Lineær uavhengighet gir da at $a(\lambda-\beta)=b(\mu-\beta)=0$. Anta at både $a$ og $b$ er ulik $0$. Da må $\lambda=\beta=\mu$, som er en motsigelse. Altså må enten $a$ eller $b$ være $0$.