matematikk.net

Skal regne ut strømlinjene til vektorfeltet [tex]\vec{v}=x\hat{i}-x\hat{j}[/tex]

[tex]\vec{v}\times d\vec{r}=0[/tex] gir meg [tex]xdy = -xdx[/tex]

Hvis jeg deler med x på begge sider får jeg [tex]dy=-dx \rightarrow \int dy = -\int dx\rightarrow y = -x + C[/tex] som stemmer godt med det bildet jeg får når jeg bruker quiver på v.

Men hvis jeg ikke deler med x på begge sider får jeg noe helt annet [tex]\int xdy = -\int xdx \rightarrow xy = -\frac{1}{2}x^2 + C \rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{C}{x}[/tex]

Hva kan ha gått galt her?

Det er relasjoner mellom [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex]. Så det er ikke åpenbart hva integralet av [tex]x[/tex] med hensyn på [tex]y[/tex] er. Når du behandler [tex]x[/tex] som konstant fordi du integrerer med hensyn på [tex]y[/tex] mister du informasjon fordi du ikke har hensyn til relasjonene mellom dem, altså at den ene for eksempel er en funksjon av den andre.