matematikk.net

«I en rettvinklet trekant er summen av arealene til de likesidede trekantene over katetene lik arealet til den likesidede trekanten over hypotenusen»
Prøv ut noen figurer og gi begrunnelse.

Noen som vet noen figurer og hva det første betyr?

jeger wrote:«I en rettvinklet trekant er summen av arealene til de likesidede trekantene over katetene lik arealet til den likesidede trekanten over hypotenusen»
Prøv ut noen figurer og gi begrunnelse.

Noen som vet noen figurer og hva det første betyr?

Vi ønsker å gi et bevis for denne påstanden. Først prøver vi den ut med en figur. Nedenfor er en rettvinklet trekant tegnet med $a=4$, $b=3$ og $c=5$. Sidenes korresponderende likesidede trekanter $A,B$ og $C$. er også tegnet. Vi ønsker å vise at $$\text{Areal}(A) + \text{Areal}(B) = \text{Areal}(C).$$ Nå, Areal$(A) = \frac12\cdot4^2 = 8$, Areal$(B) = \frac12\cdot3^2 = \frac92$ og Areal$(C) = \frac12\cdot5^2 = \frac{25}{2}.$ Dermed ser vi at $$\text{Areal}(A) + \text{Areal}(B) = 8 + \frac92 = \frac{16 + 9}{2} = \frac{25}{2} = \text{Areal}(C).\text{ }\checkmark$$

For en generell rettvinklet trekant med sidelengder $a,b,c$ får vi at $$\begin{align*}\text{Areal}(A) + \text{Areal}(B) & = \frac12a^2 + \frac12b^2 \\ & = \frac12\left(a^2 + b^2\right) \\ & = \frac12c^2 \text{ }\text{ }\text{ fra Pytagoras, ettersom trekanten er rettvinklet} \\ & = \text{Areal}(C),\end{align*}$$ så vi har vist at påstanden stemmer.