matematikk.net

Løs likninga under. Den har en analytisk tilnærming:

[tex]\large 3x=(3\sqrt{x}+1)^{x^{3\sqrt{x}-3x+1}}[/tex]

Observerer at om

[tex]3 \sqrt x-3x+1=0[/tex]
er eksponenten lik 1, siden [tex]x^0=1[/tex], dette gir oss igjen likningen
[tex]3 \sqrt x-3x+1=0[/tex]
Setter [tex]u=\sqrt x[/tex] som gir oss
[tex]-3u^2+3u+1=0[/tex]
Denne likningen har løsningen
[tex]u=\frac{-3\pm \sqrt{9+12}}{-6}=\frac{3\pm \sqrt{21}}6[/tex]
og vi får
[tex]x=u^2=(\frac{3\pm \sqrt{21}}6)^2[/tex]

fine greier, og lur observasjon:

[tex]x=u^2=(\frac{3\pm \sqrt{21}}6)^2[/tex]
DVs
[tex]x=\frac{5\pm \sqrt{21}}{6}[/tex]

Det som mangler er jo å finne alle løsningene, evt. å vise at dette er eneste løsning.

En annen ting er at den negative løsningen ikke er gyldig siden $\sqrt{x}$ ikke kan være negativ.

plutarco wrote:Det som mangler er jo å finne alle løsningene, evt. å vise at dette er eneste løsning.
En annen ting er at den negative løsningen ikke er gyldig siden $\sqrt{x}$ ikke kan være negativ.

1. enig

2.
observer at:

[tex]x=\frac{5- \sqrt{21}}{6} > 0[/tex]

Janhaa wrote: observer at:

[tex]x=\frac{5- \sqrt{21}}{6} > 0[/tex]

Problemet er at du får med en negativ løsning for $u$. Siden $u=\sqrt{x}$, og rota er definert som den positive løsningen, så faller denne negative løsningen bort. Prøv å løs likningen $3\sqrt{x}-3x+1=0$ i wolfram alpha, så ser du at den bare har én løsning.