elite wrote:Er det mulig å be om hjelp til en lignende oppgave så jeg kanskje lærer meg partiell derivasjon en gang for alltid?
"Finn maksimal- og minimalverdiene til funksjonen"
[tex]f(x,y)=3x^{2}+y^{2}[/tex] under bibetingelsen [tex]g(x,y)=3[/tex] der [tex]g(x,y)=xy^{3}[/tex]
Det jeg har kommet frem til så langt er følgende:
[tex]f'(x)= 6x[/tex]
[tex]f'(y)= 2y[/tex]
[tex]g'(x)= y^{3}[/tex]
[tex]g'(y)= 3xy^{2}[/tex]
Bruker så lagranges metode å å får:
[tex]6x = \lambda * y^{3}[/tex] ---> ganger med (3x)
[tex]2y = \lambda * 3xy^{2}[/tex] ---> ganger med (y)
og får
[tex]18x^{2}=2y^{2}[/tex]
[tex]2(3x-y)(3x+y)=0[/tex]
Her stopper det opp for meg dessverre, så om noen kan vise meg videre utregninger for å finne maksimal- og minimalverdiene til funksjonen hadde jeg blitt veldig takknemlig
For det første må du passe på notasjonen din. $f = f(x,y)$ og $g=g(x,y)$ er funksjoner av
to variabler, så når vi deriverer med hensyn på kun én av dem (for eksempel $x$), har vi partiell derivasjon og skriver $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),$ ikke $f'(x)$.
Som du har skrevet får vi at $6x = \lambda y^3$ og $2y = 3\lambda xy^2$ fra Lagranges metode. Multipliserer vi opp for å eliminere $\lambda$ får vi at $2(3x-y)(3x+y) = 0$ slik du har skrevet. Dermed må enten $3x - y = 0$ eller $3x + y = 0$. Vi undersøker de forskjellige mulighetene:
Hvis $3x - y = 0$ så er $y = 3x$, så fra bibetingelsen får vi at $3 = xy^3 = x\cdot (3x)^3 = 3^3x^4$. Dermed er $x^4 = 3^{-2} = \frac19$, så $x^2 = \pm \frac13$. Vi er kun ute etter reelle verdier for $x$, så $x^2 = \frac13$. Dermed får vi at $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}. \text{ }\therefore y = \pm\frac{3\sqrt{3}}{3} = \pm\sqrt{3}$. Dette gir oss to løsninger, nemlig $(x_1,y_1) = \left(\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right)$ og $(x_2,y_2) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\sqrt{3}\right)$.
Hvis derimot $3x+y = 0$ får vi at $y = -3x$, så bibetingelsen gir at $3 = xy^3 = x\cdot (-3x)^3 = -3^3x^4$. Dermed er $x^4 = -3^{-2} = -\frac19$, hvilket ikke gir noen reelle løsninger for $x$.
Til slutt ønsker vi å klassifisere løsningene vi fikk. Ettersom $$f(x_1,x_2) = f\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right) = 3\cdot\frac13 + 3 = 4 = f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\sqrt{3}\right) = f(x_2,y_2),$$ har vi at $(x_1,y_1)$ og $(x_2,y_2)$ er begge enten maksima eller minima. Ettersom eksempelvis punktet $(3,1)$ tilfredsstiller bibetingelsen og $f(3,1) = 3\cdot3^2 +1^2 = 28 \geq 4$, er begge punktene minimumspunkter, med minimumsverdi lik $4$. $f$ er ikke oppad begrenset og har ingen maksimumsverdi.
, men bare en siste ting (som sikkert er et dumt spørsmål)