matematikk.net

Sidene i kvadratet er lik a. Uttrykk det grønne arealet ved a.

Ble litt kluss med størrelsen på forrige bilde. Forhåpentligvis
sees bildet over bedre.
Fortsatt har vi et kvadrat med sider a.
Finn arealet av det grønne området uttrykt ved a.

La områdene $A, X, Y$ ha areal $\alpha, x, y$, respektivt:
Da vet vi at $$\text{areal av kvadrat} = a^2 = \alpha + 4x + 4y$$ og at $$\text{areal av kvartsirkel} = \frac{\pi a^2}{4} = \alpha + 3x + 2 y.$$

Vi legger til en kopi av figuren, og lar området $B$ har areal $b$:
Vi vet at $\sin\theta = \frac{1}{2}$, hvilket betyr at $\theta = \frac{\pi}{6}$. Fra formelen for areal av sirkelsegment får vi at $$b = \frac{a^2}{2}\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$$ og fra figuren ser vi at $$b = \alpha + 2x + y.$$

Vi har nå tre likninger og tre ukjente. Løser vi dem får vi at $$\alpha = \left(\frac{\pi}{3} + 1 - \sqrt{3}\right)a^2.$$

Edit:
Ser ved forhåndsvisning at jeg ble snipa noe hardt av Dennis, men jeg har arbeidet ALT for lenge på dette til å bare ikke poste det, nå skal det dog sies at hans metode var "litt" mer elegant

[+] Skjult tekst

Forsøker å bruke geogebra litt for å kunne visualisere hva jeg prøver å forklare, med forbehold om feil.

Vi vet at en standard sirkellikning ser noe slikt ut: [tex]x^2+y^2=a^2[/tex], vi kan derfor også si at for å flytte denne et mål til venstre, blir likningen[tex](x-1)+y^2=a^2[/tex]



Men for oss er sidene i dette kvadratet a, derfor flytter vi det a mål til venstre slik at [tex](x-a)^2+y^2=a^2[/tex]

Bruker så geogebra og finner skjæringen mellom disse to


Ser vi nøye etter vet vi også at det er området i sektor AB vi vil ha.



Vi vet at avstanden på x-aksen er [tex]\frac{1}{2}a[/tex] og avstanden på y-aksen er [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}a[/tex], men y-skjæringen er jo en del av periferi og dermed likelangt fra x uansett hvor den er (hvis du forstår hva jeg prøver å si), og da kan vi si at vi har to integrasjonsgrenser [tex]\int_{\frac{1}{2}a}^{\frac{\sqrt{3}}{2}a}[/tex], det vi vil integrere er jo halvsirkellikningen [tex]\sqrt{1-x^2}[/tex]. Ser vekk fra a'en en liten stund og bruker bare tallet 1 i stede, slik at integralet blir

[tex]\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{1-x^2}dx[/tex] som gir [tex]\frac{1}{2}\left (arcsin(x)+\frac{1}{2}sin(2arcsin(x)) \right )+C[/tex], så plugger vi inn grensene [tex]\left [ \frac{1}{2}\left (arcsin(x)+\frac{1}{2}sin(2arcsin(x)) \right )+C \right ]_{\frac{1}{2}}^\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{12}[/tex]

Setter inn for a og får verdien =[tex]\frac{\pi}{12}a^2[/tex]

Som er dette her

Vi har nå arealet av dette her ^ og det vi må gjøre for å finne arealet av den sektoren jeg har linjet ut er å fjerne det rektangelet. Rektangelet har sidene [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}[/tex] (de to grensene) og [tex]\frac{1}{2}[/tex]
som gir et totalt areal på [tex]lengde \cdot bredde = (\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}[/tex]

Så setter vi inn for a (mhp. at vi vil få en eksponent på rektangelet) og sier at arealet av det lille området må være [tex]\frac{\pi a^2}{12}-\frac{(\sqrt{3}-1)a^2}{4}[/tex]

så ganger vi hele området med 4 fordi vi nå har en fjerdedel av det arealet vi er ute etter og ser at arealet blir [tex]\frac{\pi}{3}a^2-\sqrt{3}a^2+a^2=a^2(\frac{\pi}{3}+1-\sqrt{3})[/tex]

Dank method: Anta at sidelengdene i kvadratet er $1$ (vi kan gange opp med $a^2$ tilslutt). Innskriv hele greia i et koordinatsystem med nedre venstre hjørne som origo, og aksene parallelle med sidene i kvadratet. Linjene parallelle med aksene gjennom sentrum i kvadratet deler det grønne området i fire kongruente deler, og vi betrakter det øverste til høyre. For å finne arealet $A$ av dette integrerer vi:

\[ A=\int_{\frac12}^{\frac12\sqrt{3}}\sqrt{1-x^2}-\frac12\ dx. \]

Som kan regnes ut og ganges med $4a^2$ får å få samme svar som Dennis.

Velger en løsning som bygger på kalkulusregning her. Vi legger merke til at det grønne området er avgrenset av 4 sirkler med radius a, og sentrum i hjørnene. Dersom vi velger hjørnet nede til venstre som origo, [tex](0,0)[/tex], vil sirkelen som står ut fra dette hjørnet være gitt ved likningen [tex]a^2=x^2+y^2[/tex], som skrives om til
(1) [tex]y=\sqrt{a^2-x^2}[/tex]
Denne sirkelbuen danner, sammen med sirkelbuen med sentrum i [tex](a,0)[/tex] to av "hjørnene" til figuren. Dette gir likningen [tex]y=\sqrt{a^2-(x-a)^2}[/tex].

Ved å sette disse to like, og manipulere uttrykkene litt, vil vi få punkter [tex]\frac{a}{2}[/tex] og [tex]\frac{\sqrt{3}a}{2}[/tex] som "ytterpunkter" av figuren. Vi bruker disse to grensene som integrasjonsgrenser ved behandling av likning 1. Vi får da:

[tex]A_1 = \int_{\frac{a}{2}}^{\frac{\sqrt{3}a}{2}}\sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{\pi a^2}{12}[/tex]





Ved å dele det grønne området i 4, kan vi bruke dette for å finne det grønne arealet. Vi må først da fjerne det som ligger utenfor det ønskede området, som heldigvis i dette tilfellet, er et rektangulært område. Vi lar da [tex]A_2 = \frac{a}{2}\cdot \frac{a(\sqrt{3}-1)}{2}=\frac{a^2(\sqrt{3}-1)}{4}[/tex].

Da er [tex]A=4(A_1-A_2)=\frac{\pi \cdot a^2}{3}-a^2(\sqrt{3}-1) = a^2(\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}+1)[/tex]

Kay wrote:Edit:
Ser ved forhåndsvisning at jeg ble snipa noe hardt av Dennis, men jeg har arbeidet ALT for lenge på dette til å bare ikke poste det, nå skal det dog sies at hans metode var "litt" mer elegant

[+] Skjult tekst

Forsøker å bruke geogebra litt for å kunne visualisere hva jeg prøver å forklare, med forbehold om feil.
Vi vet at en standard sirkellikning ser noe slikt ut: [tex]x^2+y^2=a^2[/tex], vi kan derfor også si at for å flytte denne et mål til venstre, blir likningen[tex](x-1)+y^2=a^2[/tex]


Men for oss er sidene i dette kvadratet a, derfor flytter vi det a mål til venstre slik at [tex](x-a)^2+y^2=a^2[/tex]

Bruker så geogebra og finner skjæringen mellom disse to


Ser vi nøye etter vet vi også at det er området i sektor AB vi vil ha.



Vi vet at avstanden på x-aksen er [tex]\frac{1}{2}a[/tex] og avstanden på y-aksen er [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}a[/tex], men y-skjæringen er jo en del av periferi og dermed likelangt fra x uansett hvor den er (hvis du forstår hva jeg prøver å si), og da kan vi si at vi har to integrasjonsgrenser [tex]\int_{\frac{1}{2}a}^{\frac{\sqrt{3}}{2}a}[/tex], det vi vil integrere er jo halvsirkellikningen [tex]\sqrt{1-x^2}[/tex]. Ser vekk fra a'en en liten stund og bruker bare tallet 1 i stede, slik at integralet blir

[tex]\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{1-x^2}dx[/tex] som gir [tex]\frac{1}{2}\left (arcsin(x)+\frac{1}{2}sin(2arcsin(x)) \right )+C[/tex], så plugger vi inn grensene [tex]\left [ \frac{1}{2}\left (arcsin(x)+\frac{1}{2}sin(2arcsin(x)) \right )+C \right ]_{\frac{1}{2}}^\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{12}[/tex]

Setter inn for a og får verdien =[tex]\frac{\pi}{12}a^2[/tex]

Som er dette her

Vi har nå arealet av dette her ^ og det vi må gjøre for å finne arealet av den sektoren jeg har linjet ut er å fjerne det rektangelet. Rektangelet har sidene [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}[/tex] (de to grensene) og [tex]\frac{1}{2}[/tex]
som gir et totalt areal på [tex]lengde \cdot bredde = (\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}[/tex]

Så setter vi inn for a (mhp. at vi vil få en eksponent på rektangelet) og sier at arealet av det lille området må være [tex]\frac{\pi a^2}{12}-\frac{(\sqrt{3}-1)a^2}{4}[/tex]

så ganger vi hele området med 4 fordi vi nå har en fjerdedel av det arealet vi er ute etter og ser at arealet blir [tex]\frac{\pi}{3}a^2-\sqrt{3}a^2+a^2=a^2(\frac{\pi}{3}+1-\sqrt{3})[/tex]

BRA jobba :=)
så vidt jeg kan se er dette riktig...mye arbeide!

DennisChristensen wrote:La områdene $A, X, Y$ ha areal $\alpha, x, y$, respektivt:

vedlegg1.png

Da vet vi at $$\text{areal av kvadrat} = a^2 = \alpha + 4x + 4y$$ og at $$\text{areal av kvartsirkel} = \frac{\pi a^2}{4} = \alpha + 3x + 2 y.$$
Vi legger til en kopi av figuren, og lar området $B$ har areal $b$:

vedlegg2.png

Vi vet at $\sin\theta = \frac{1}{2}$, hvilket betyr at $\theta = \frac{\pi}{6}$. Fra formelen for areal av sirkelsegment får vi at $$b = \frac{a^2}{2}\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$$ og fra figuren ser vi at $$b = \alpha + 2x + y.$$
Vi har nå tre likninger og tre ukjente. Løser vi dem får vi at $$\alpha = \left(\frac{\pi}{3} + 1 - \sqrt{3}\right)a^2.$$

Sjølsagt korrekt. Den "klassiske metoden".. .fint
løste den på metode 1 som deg:
fort og gæli:
A(kvart-sirkel)
A(sector)
A(segment)
A(x+y)
[tex]A(green)= a^2-4A(x+y)=a^2(\frac{\pi}{3}+1-\sqrt{3})[/tex]

stensrud wrote:Dank method: Anta at sidelengdene i kvadratet er $1$ (vi kan gange opp med $a^2$ tilslutt). Innskriv hele greia i et koordinatsystem med nedre venstre hjørne som origo, og aksene parallelle med sidene i kvadratet. Linjene parallelle med aksene gjennom sentrum i kvadratet deler det grønne området i fire kongruente deler, og vi betrakter det øverste til høyre. For å finne arealet $A$ av dette integrerer vi:
\[ A=\int_{\frac12}^{\frac12\sqrt{3}}\sqrt{1-x^2}-\frac12\ dx. \]
Som kan regnes ut og ganges med $4a^2$ får å få samme svar som Dennis.

fine greier med god gammal calculus:
min metode 2, som deg:

vi har at:
[tex]x^2+y^2=a^2[/tex]

og finner øvre og nedre:
[tex]y_u=\sqrt{a^2-x^2}[/tex]
og
[tex]y_l=a/2[/tex]
med grensene:
fra[tex]\,\,a/2\,\,[/tex]til[tex]\,\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
altså:

\[ A(green)=4\int_{\frac a2}^{\frac a2\sqrt{3}}(\sqrt{a^2-x^2}-\frac a2\ )dx=a^2(1-\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}) \]

Skogmus wrote:Velger en løsning som bygger på kalkulusregning her. Vi legger merke til at det grønne området er avgrenset av 4 sirkler med radius a, og sentrum i hjørnene. Dersom vi velger hjørnet nede til venstre som origo, [tex](0,0)[/tex], vil sirkelen som står ut fra dette hjørnet være gitt ved likningen [tex]a^2=x^2+y^2[/tex], som skrives om til
(1) [tex]y=\sqrt{a^2-x^2}[/tex]
Denne sirkelbuen danner, sammen med sirkelbuen med sentrum i [tex](a,0)[/tex] to av "hjørnene" til figuren. Dette gir likningen [tex]y=\sqrt{a^2-(x-a)^2}[/tex].
Ved å sette disse to like, og manipulere uttrykkene litt, vil vi få punkter [tex]\frac{a}{2}[/tex] og [tex]\frac{\sqrt{3}a}{2}[/tex] som "ytterpunkter" av figuren. Vi bruker disse to grensene som integrasjonsgrenser ved behandling av likning 1. Vi får da:
[tex]A_1 = \int_{\frac{a}{2}}^{\frac{\sqrt{3}a}{2}}\sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{\pi a^2}{12}[/tex]


Ved å dele det grønne området i 4, kan vi bruke dette for å finne det grønne arealet. Vi må først da fjerne det som ligger utenfor det ønskede området, som heldigvis i dette tilfellet, er et rektangulært område. Vi lar da [tex]A_2 = \frac{a}{2}\cdot \frac{a(\sqrt{3}-1)}{2}=\frac{a^2(\sqrt{3}-1)}{4}[/tex].
Da er [tex]A=4(A_1-A_2)=\frac{\pi \cdot a^2}{3}-a^2(\sqrt{3}-1) = a^2(\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}+1)[/tex]

flott